Фигура (дифференциальная геометрия)

Фигу́ра (англ. shape) — любое подмножество некоторого однородного пространства с фундаментальной группой, которое можно включить в некоторое пространство фигуры — множество подмножеств этого пространства такое, что это множество изоморфно некоторому пространству геометрического объекта. Компоненты геометрического объекта называются координатами соответствующей фигуры^[1].

Ранг, жанр, характеристика и тип геометрического объекта называются рангом, жанром, характеристикой и типом соответствующей фигуры. Вместе они образуют арифметические инварианты фигуры. Например, окружность в трёхмерном евклидовом пространстве — это фигура ранга 6, жанра 1, характеристики 1 и типа 1; точка в трёхмерном проективном пространстве — это фигура ранга 3, жанра 0, характеристики 2 и типа 1^[2].

Вполне интегрируемая система уравнений Пфаффа, определяющая геометрический объект, называется системой уравнений инвариантности (стационарности) фигуры^[3].

Пусть даны ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle {\bar {F}}}$ — две некоторые фигуры некоторого однородного пространства. Если существует отображение пространства фигуры ${\displaystyle F}$ на пространство фигуры ${\displaystyle {\bar {F}}}$ такое, что любой геометрический объект, соответствующий фигуре ${\displaystyle {\bar {F}}}$, охватывается любым геометрическим объектом, соответствующим фигуре ${\displaystyle F}$, то говорят, что фигура ${\displaystyle F}$ охватывает, или индуцирует, фигуру ${\displaystyle {\bar {F}}}$ (равно фигуру ${\displaystyle {\bar {F}}}$ охватывается, или индуцируется, фигурой ${\displaystyle F}$)^[3].

Фигура ${\displaystyle F}$ ранга ${\displaystyle N}$ называется простой, если она не охватывает никакой другой фигуры меньшего ранга. Фигура ${\displaystyle F}$ называется индуцирующей фигурой индекса ${\displaystyle {\bar {N}}<N}$, если существует охватываемая ею фигура ранга Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \bar{N}} , причем ранг ${\displaystyle N^{\prime }}$ любой другой фигуры ${\displaystyle F^{\prime }}$, охватываемой фигурой ${\displaystyle F}$, не превосходит ${\displaystyle {\bar {N}}}$^[3].

Например, точка, ${\displaystyle p}$-мерная плоскость, гиперквадрика в ${\displaystyle n}$-мерном проективном пространстве — простые фигуры. Гиперквадрика в ${\displaystyle n}$-мерном аффинном пространстве и ${\displaystyle d}$-мерная (${\displaystyle d\leqslant n-2}$) квадрика в ${\displaystyle n}$-мерном проективном пространстве — индуцирующие фигуры соответственно индексов ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle (d+2)(n-d-1)}$^[3].

Парой фигур ${\displaystyle F=(F_{1},F_{2})}$ называется упорядоченная множество двух фигур. Коэффициентом инцидентности пары фигур называется число

${\displaystyle k=N_{1}+N_{2}-N}$,

где ${\displaystyle N_{1}}$ и ${\displaystyle N_{2}}$ — ранги фигур ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ соответственно, а ${\displaystyle N}$ — ранг системы форм

${\displaystyle \Omega ^{J_{1}}}$, ${\displaystyle \Omega ^{J_{2}}}$, ${\displaystyle J_{1}=1,2,\ldots ,N_{1}}$, ${\displaystyle J_{2}=1,2,\ldots ,N_{2}}$, —

левых частей уравнений стационарности фигур ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ соответственно. Если коэффициент инцидентности пары ${\displaystyle k=0}$, то пара ${\displaystyle F=(F_{1},F_{2})}$ называется неинцидентной^[3].

• Малаховский В. С. Фигура // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 613—614.