Фононное рассеяние

Проходя через материал, фононы могут рассеиваться по нескольким механизмам: фонон-фононное рассеяние переброса, рассеяние на примесях или дефектах кристаллической решётки, фонон-электронное рассеяние и рассеяние на границе образца. Каждый механизм рассеяния можно охарактеризовать скоростью релаксации 1/ ${\displaystyle \tau }$, обратному соответствующему времени релаксации.

Все процессы рассеяния можно учесть с помощью правила Маттиссена. Тогда суммарное время релаксации ${\displaystyle \tau _{C}}$ можно записать как:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{C}}}={\frac {1}{\tau _{U}}}+{\frac {1}{\tau _{M}}}+{\frac {1}{\tau _{B}}}+{\frac {1}{\tau _{\text{ph-e}}}}}$

Параметры ${\displaystyle \tau _{U}}$, ${\displaystyle \tau _{M}}$, ${\displaystyle \tau _{B}}$, ${\displaystyle \tau _{\text{ph-e}}}$ обусловлены рассеянием переброса, рассеянием на примесях, граничным рассеянием и фонон-электронным рассеянием соответственно.

Для фонон-фононного рассеяния эффекты нормальных процессов (процессов, сохраняющих волновой вектор фонона - N процессов) игнорируются в пользу процессов переброса (U процессов). Поскольку нормальные процессы изменяются линейно с изменением ${\displaystyle \omega }$, а процессы переброса зависят от ${\displaystyle \omega ^{2}}$, рассеяние переброса преобладает на высоких частотах ^[1]. ${\displaystyle \tau _{U}}$ определяется как:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{U}}}=2\gamma ^{2}{\frac {k_{B}T}{\mu V_{0}}}{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{D}}}}$

где ${\displaystyle \gamma }$ – параметр Грюнайзена, μ – модуль сдвига, V₀ – объем, приходящийся на один атом, и ${\displaystyle \omega _{D}}$—частота Дебая.^[2]

Традиционно перенос тепла в неметаллических твердых телах описывался процессом трехфононного рассеяния^[3], а роль процессов четырехфононного рассеяния и рассеяния более высокого порядка считалась незначительной. Недавние исследования показали, что четырехфононное рассеяние может быть важным почти для всех материалов при высокой температуре ^[4] и для некоторых материалов при комнатной температуре. ^[5] Предсказанная значимость четырехфононного рассеяния в арсениде бора была подтверждена экспериментами.

Разностное рассеяние на примесях определяется выражением:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{M}}}={\frac {V_{0}\Gamma \omega ^{4}}{4\pi v_{g}^{3}}}}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ является мерой силы рассеяния примесей ; ${\displaystyle {v_{g}}}$ зависит от дисперсионных кривых.

При самых низких температурах вклад от рассеяния на границах всегда будет основным и низкотемпературная асимптотика теплопроводности трёхмерного кристалла имеет вид ${\displaystyle \displaystyle k\propto T^{3}}$ . Рассеяние на дислокациях и точечных дефектах будет давать вклад в сторону понижения теплопроводности при повышении температуры, уменьшая длину свободного пробега.

Рассеяние на границе образца особенно важно для низкоразмерных наноструктур. В таких структурах скорость релаксации определяется выражением:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{B}}}={\frac {V}{L_{0}}}(1-p)}$

где ${\displaystyle L_{0}}$ – характерная длина системы, а ${\displaystyle p}$ представляет долю зеркально рассеянных фононов.

Параметр ${\displaystyle p}$ для произвольной поверхности требует сложных расчетов. Для поверхности, характеризующейся среднеквадратичной шероховатостью ${\displaystyle \eta }$, зависящее от длины волны значение для ${\displaystyle p}$ можно рассчитать с помощью

${\displaystyle p(\lambda )=\exp {\Bigg (}-16{\frac {\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\eta ^{2}\cos ^{2}\theta {\Bigg )}}$

где ${\displaystyle \theta }$ —угол падения. ^[6]

^[7] При стандартном случае, то есть при ${\displaystyle \theta =0}$, совершенно зеркальное рассеяние (т.е. ${\displaystyle p(\lambda )=1}$ ) потребует сколь угодно большой длины волны или, наоборот, сколь угодно малой шероховатости. Чисто зеркальное рассеяние не вносит связанного с границей увеличения теплового сопротивления. Однако в диффузионном пределе при ${\displaystyle p=0}$ скорость релаксации становится

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{B}}}={\frac {V}{L_{0}}}}$

Это уравнение также известно как предел Казимира. ^[8]

Вышеописанные уравнения могут во многих случаях точно моделировать теплопроводность изотропных наноструктур с характерными размерами порядка длины свободного пробега фононов. В целом требуются более подробные расчеты, чтобы полностью описать взаимодействие фононов с границей на всех соответствующих колебательных модах в произвольной структуре.

Рассеяние электрона на колебаниях кристаллической решетки описывается в терминах поглощения и испускания фононов движущимся электроном. Фононы представляют собой квазичастицы, описывающие возбуждения кристаллической решетки с некоторым законом дисперсии ${\displaystyle \displaystyle \omega =\omega _{s}(q)}$, где ${\displaystyle q}$ – квазиимпульс фонона, ${\displaystyle \omega }$ – его частота, а индекс ${\displaystyle s}$ нумерует различные ветви фононного спектра (акустические, оптические, продольные, поперечные). Процесс рассеяния соответствует передаче импульса и энергии от электрона колебаниям решетки и наоборот.

Фонон-электронное рассеяние также может вносить вклад, когда материал сильно легирован. Соответствующее время релаксации определяется как:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\text{ph-e}}}}={\frac {n_{e}\epsilon ^{2}\omega }{\rho V^{2}k_{B}T}}{\sqrt {\frac {\pi m^{*}V^{2}}{2k_{B}T}}}\exp \left(-{\frac {m^{*}V^{2}}{2k_{B}T}}\right)}$

Параметр ${\displaystyle n_{e}}$ — концентрация электронов проводимости, ε — потенциал деформации, ρ — массовая плотность, m* — эффективная масса электрона. ^[9] Обычно считается, что вклад в теплопроводность фонон-электронного рассеяния пренебрежимо мал.

• Процессы переброса
• Электрон-фононное взаимодействие