Формула Лейбница для определителей

Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы размера через перестановки её элементов:

где  — функция знака перестановки в группе перестановок , которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно.

С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна:

.

Формула названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году.

Функция, определённая формулой Лейбница, является единственной знакопеременной мультилинейной функцией[англ.], обращающейся в единицу на единичной матрице[1]. Таким образом, определитель может быть однозначно определён как знакопеременная мультилинейная функция[англ.], полилинейная относительно столбцов и строк, обращающаяся в единицу на единичной матрице.[2]

Вычислительная сложность

Прямое вычисление по формуле Лейбница требует в общем случае операций, то есть количество операций, асимптотически пропорциональное факториалу (числу упорядоченных перестановок из элементов). Для больших определитель можно вычислить за операций путём формирования LU-разложения , обычно получаемого с помощью метода Гаусса или аналогичных методов, для которого , где определители треугольных матриц и  равняются произведениям диагональных элементов матриц. Однако в практических приложениях вычислительной линейной алгебры явное вычисление определителя используется редко[3].

Смотрите также

Примечания

Литература

  • Определитель — статья из Математической энциклопедии. Д. И. Супруненко
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau. Numerical Linear Algebra. — SIAM, 1997. — ISBN 978-0898713619.
  • Serge Lang. Linear Algebra. — Springer-Verlag, 2004. — (Undergraduate texts in mathematics). — ISBN 0-387-96412-6.
Prefix: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Portal di Ensiklopedia Dunia

Kembali kehalaman sebelumnya