Формула Лейбница для определителейФормула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы размера через перестановки её элементов: где — функция знака перестановки в группе перестановок , которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно. С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна:
Формула названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году. Функция, определённая формулой Лейбница, является единственной знакопеременной мультилинейной функцией[англ.], обращающейся в единицу на единичной матрице[1]. Таким образом, определитель может быть однозначно определён как знакопеременная мультилинейная функция[англ.], полилинейная относительно столбцов и строк, обращающаяся в единицу на единичной матрице.[2] Вычислительная сложностьПрямое вычисление по формуле Лейбница требует в общем случае операций, то есть количество операций, асимптотически пропорциональное факториалу (числу упорядоченных перестановок из элементов). Для больших определитель можно вычислить за операций путём формирования LU-разложения , обычно получаемого с помощью метода Гаусса или аналогичных методов, для которого , где определители треугольных матриц и равняются произведениям диагональных элементов матриц. Однако в практических приложениях вычислительной линейной алгебры явное вычисление определителя используется редко[3]. Смотрите такжеПримечания
Литература
|
Portal di Ensiklopedia Dunia