Формула Сантало

Формула Сантало́ — следствие теоремы Лиувилля о сохранении фазового объёма применяемая для интегрирования функций заданных на расслоении единичных сфер риманова многообразия. А именно она даёт возможность сначала интегрировать по каждой геодезической отдельно, а затем по пространству всех геодезических.

Этот инструмент используется при доказательстве изопериметрических неравенств,^[1] а также результатов жёсткости.^[2]

Формула названа в честь Луиса Сантало, который доказал её в 1952 году.^[3][4]

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ — компактное, ориентированное риманово многообразие с краем ${\displaystyle \partial M}$. Предположим, что длины геодезических в ${\displaystyle M}$ ограничены, то есть любая геодезическая выходит на границу за определённое время. Пусть ${\displaystyle \varphi _{t}\colon SM\to SM}$ обозначает геодезический поток на расслоении единичных сфер ${\displaystyle SM}$. Тогда

${\displaystyle \ \int \limits _{v\in SM}f(v)\cdot \mu =\int \limits _{w\in S_{+}\partial M}\left[\int \limits _{0}^{\tau (w)}f(\varphi _{t}(w))\cdot dt\right]\cdot \cos \theta (w)\cdot \sigma }$

для любой интегрируемой функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle SM}$. При этом мы предполагаем, что

• ${\displaystyle \theta (w)}$ — угол между ${\displaystyle w}$ и направленной внутрь нормалью к ${\displaystyle \partial M}$ в базовой точке вектора ${\displaystyle w\in S_{+}\partial M}$ то есть вектора с базовой точкой на границе ${\displaystyle \partial M}$ направленного внутрь ${\displaystyle M}$.
• ${\displaystyle \mu }$ а также ${\displaystyle \sigma }$ являются римановыми формами объема относительно метрики Сасаки на ${\displaystyle SM}$ и ${\displaystyle S_{+}\partial M}$.
• ${\displaystyle \tau (w)}$ обозначает время выхода геодезической с начальными условиями ${\displaystyle w\in S_{+}\partial M}$; то есть

  ${\displaystyle \tau (w)=\sup\{t\geq 0:\forall s\in [0,t]:~\varphi _{s}(x,v)\in SM\}}$

• Преобразование Радона
• Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма
• Формула Крофтона

• Сергей Иванов, Некоторые геометрические неравенства и теоремы жесткости, Лекция 9 на YouTube, начиная с 1:01:52