Функции Стеклова

Функции Стеклова — функции, введённые русским математиком В. А. Стекловым (в публикации 1907 года) для решения задач, связанных с представлением функций в виде рядов по системам собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

• Функция ${\displaystyle f_{h}(x)}$ имеет производную

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f_{h}(x)={\frac {1}{h}}{\Bigl (}f(x+h/2)-f(x-h/2){\Bigr )}}$

почти во всех точках отрезка ${\displaystyle [a,b]}$.

• Если ${\displaystyle f}$ абсолютно непрерывна на всей вещественной оси, то имеют место оценки:

${\displaystyle \sup \limits _{x\in (-\infty ,+\infty )}|f(x)-f_{h}(x)|\leq \omega _{f}(h/2),}$

${\displaystyle \sup \limits _{x\in (-\infty ,+\infty )}{\Bigl |}{\frac {d}{dx}}f_{h}(x){\Bigr |}\leq {\frac {1}{h}}\omega _{f}(h),}$

где ${\displaystyle \omega _{f}(\cdot )}$ — модуль непрерывности функции ${\displaystyle f}$.

• Если ${\displaystyle f\in L^{p}(-\infty ,+\infty ),}$ то аналогичные неравенства имеют место в норме этого пространства.

• Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации, — М.: Наука, 1965.
• Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование, — СПб: Изд-во СПбГУ, 1995.

Springer. Encyclopaedia of Mathematics.