Частичная геометрия

Пусть имеется структура инцидентности $C=(P,L,I)$ , состоящая из точек $P$ , прямых $L$ и флагов $I\subseteq P\times L$ . Говорят, что точка $p$ инцидентна прямой $l$ , если $(p,l)\in I$ . Структура называется конечной частичной геометрией, если существуют целые числа $s,t,\alpha \geq 1$ , такие, что:

Для любой пары различных точек $p$ и $q$ существует максимум одна прямая, инцидентная обеим точкам.
Каждая прямая инцидентна $s+1$ точкам.
Каждая точка инцидентна $t+1$ прямым.
Если точка $p$ и прямая $l$ не инцидентны, существует в точности $\alpha$ пар $(q,m)\in I$ , таких, что $p$ инцидентна $m$ , а $q$ инцидентна $l$ .

Частичная геометрия с этими параметрами обозначается $pg(s,t,\alpha )$ .

Свойства

Число точек задаётся формулой ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ , а число прямых — формулой ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ .
Точечный граф^[1] структуры $pg(s,t,\alpha )$ является сильно регулярным графом: $srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1))$ .
Частичные геометрии двойственны — двойственной структурой для $pg(s,t,\alpha )$ является просто структура $pg(t,s,\alpha )$ .

Частные случаи

Обобщённые четырёхугольники — это в точности частичные геометрии $pg(s,t,\alpha )$ с $\alpha =1$ .
Системы Штейнера — это в точности частичные геометрии $pg(s,t,\alpha )$ с $\alpha =s+1$ .

Обобщения

Частично линейное пространство^[англ.] $S=(P,L,I)$ порядка $s,t$ называется получастичной геометрией, если существуют целые числа $\alpha \geq 1,\mu$ , такие, что:

Если точка $p$ и прямая $\ell$ не инцидентны, существует либо $0$ , либо в точности $\alpha$ пар $(q,m)\in I$ , таких, что $p$ инцидентна $m$ и $q$ инцидентна $\ell$ .
Любая пара неколлинеарных точек имеет в точности $\mu$ общих соседей.

Получастичная геометрия является частичной геометрией тогда и только тогда, когда $\mu =\alpha (t+1)$ .

Легко показать, что граф коллинеарности^[1] такой геометрии строго регулярен с параметрами $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )$ .

Хороший пример такой геометрии получается, если взять аффинные точки $PG(3,q^{2})$ и только те прямые, которые пересекают плоскость на бесконечности в точке фиксированной подплоскости Бэра. Геометрия имеет параметры $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$ .

Примечания

↑ ¹ ² Если дана частичная геометрия P, в которой любые две точки определяют максимум одну прямую, графом коллинеарности или точечным графом геометрии P называется граф, вершинами которого являются точки P, а две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они определяют прямую в P.

Литература

Brouwer A.E., van Lint J.H. Strongly regular graphs and partial geometries // Enumeration and Design / Jackson D.M., Vanstone S.A.. — Toronto: Academic Press, 1984. — С. 85–122.
Bose R. C. Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs // Pacific J. Math. — 1963. — Т. 13. — С. 389–419.
De Clerck F., Van Maldeghem H. Some classes of rank 2 geometries // Handbook of Incidence Geometry. — Amsterdam: North-Holland, 1995. — С. 433–475.
Thas J.A. Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H.. — 2nd. — Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, 2007. — С. 557–561. — ISBN 1-58488-506-8.
Debroey I., Thas J. A. On semipartial geometries // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. — 1978. — Т. 25. — С. 242–250.

[point_graph-1] ¹ ² Если дана частичная геометрия P, в которой любые две точки определяют максимум одну прямую, графом коллинеарности или точечным графом геометрии P называется граф, вершинами которого являются точки P, а две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они определяют прямую в P.

[1]