Частное распределение

Частное распределение (маргинальное распределение^[1]) — вероятностное распределение вероятностей одной или множества случайных величин, рассматриваемых в качестве компоненты или множества компонент некоторого известного многомерного распределения. Частное распределение вероятностей можно вычислить, суммируя значения всех остальных величин из совместного распределения вероятностей.

Иными словами, ${\displaystyle P(X_{i})=\textstyle \sum _{\forall {X}\neq X_{i}}\displaystyle P(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$.

Пусть ${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ — функция распределения для некоторой случайной величины. Если все переменные, за исключением фиксированного ${\displaystyle x_{\gamma }}$, стремятся к ${\displaystyle +\infty }$, то ${\displaystyle F}$ будет стремиться к пределу ${\displaystyle F_{\gamma }}$, который является некой функцией распределения переменной ${\displaystyle x_{\gamma }}$; так например, ${\displaystyle F_{1}(x_{1})=F(x_{1},+\infty ,\ldots ,+\infty )}$. Функция ${\displaystyle F_{\gamma }(x_{\gamma })}$ определяет некоторое одномерное распределение, которое называется частным распределением переменной ${\displaystyle x_{\gamma }}$^[2].

Таким же образом задаётся частное распределение подмножества переменных.

Допустим, что требуется вычислить вероятность того, что пешеход будет сбит автотранспортом, переходя дорогу на пешеходном переходе, не обращая внимания на сигнал светофора. Пусть ${\displaystyle H}$ (для пешехода) — это дискретная случайная величина, принимающая одно из значений из множества ${\displaystyle \{{\text{Сбит}},{\text{Не сбит}}\}}$, а ${\displaystyle L}$ (для сигнала светофора) — это дискретная случайная величина, принимающая одно из значений из множества ${\displaystyle \{{\text{Красный}},{\text{Желтый}},{\text{Зеленый}}\}}$.

Объективно, ${\displaystyle H}$ будет зависеть от ${\displaystyle L}$. То есть, ${\displaystyle P(H={\text{Сбит}})}$ будет принимать разные значения в зависимости от того, горит ли красный, желтый или зеленый свет, аналогично для ${\displaystyle P(H={\text{Не сбит}})}$. Например, человек более вероятно будет сбит машиной, если попытается перейти дорогу, когда для автотранспорта горит зеленый свет, чем если горит красный. Другими словами, для каждой пары значений ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle L}$ необходимо учитывать совместное распределение вероятностей ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle L}$, чтобы найти вероятность одновременного наступления этих событий, если пешеход игнорирует состояние светофора.

Однако при попытке вычислить частное распределение ${\displaystyle P(H={\text{Сбит}})}$ ищется вероятность того, что ${\displaystyle H={\text{Сбит}}}$ в ситуации, когда конкретное значение ${\displaystyle L}$ неизвестно и когда пешеход игнорирует сигнал светофора. В общем случае, пешеход может быть сбит при любом заданном сигнале светофора. Следовательно, частное распределение можно найти, суммируя ${\displaystyle P(H|L)}$ для всех возможных значений ${\displaystyle L}$, причем каждое значение ${\displaystyle L}$ взвешивается по своей вероятности наступления.

Следующая таблица, показывает условные вероятности быть сбитым, в зависимости от сигнала светофора:

Условное распределение: ${\displaystyle P(H|L)}$

L H	Красный	Желтый	Зеленый
Не сбит	0.99	0.9	0.2
Сбит	0.01	0.1	0.8

Для нахождения совместного распределения вероятностей требуется больше данных. Например, предположим, что ${\displaystyle P(L={\text{Красный}})=0.2}$, ${\displaystyle P(L={\text{Желтый}})=0.1}$, ${\displaystyle P(L={\text{Зеленый}})=0.7}$. Умножая каждый столбец в условном распределении на вероятность наступления соответствующего сигнала светофора, мы получаем совместное распределение вероятностей ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle L}$:

Совместное распределение: ${\displaystyle P(H,L)}$

L H	Красный	Желтый	Зеленый	${\displaystyle P(H)}$
Не сбит	0.198	0.09	0.14	0.428
Сбит	0.002	0.01	0.56	0.572
Сумма	0.2	0.1	0.7	1

Частное распределение ${\displaystyle P(H={\text{Сбит}})=0.002+0.01+0.56=0.572}$, так как это вероятность быть сбитым при красном, желтом или зеленом сигнале светофора. Аналогично, для ${\displaystyle P(H={\text{Не сбит}})}$ — это сумма по соответствующей строке.