Эпициклическая частота

Эпициклическая частота в астрофизике — характеристика движения тела под воздействием определённого гравитационного потенциала — например, движения звезды в галактике. Если орбита тела мало отличается от круговой, а движение по ней происходит с частотой ${\displaystyle \Omega }$, то можно считать, что тело совершает малые колебания относительно точки, движущейся по круговой орбите с такой же частотой ${\displaystyle \Omega }$. Частота таких малых колебаний называется эпициклической частотой и обозначается ${\displaystyle \kappa }$.

В астрофизике может рассматриваться движение тела в определённом гравитационном потенциале — например, движение в галактике. Однако даже если гравитационный потенциал является симметричным относительно какой-либо выделенной оси, то уравнения, описывающие движение тела, могут иметь аналитические решения лишь в частных случаях — например, в задаче двух тел, когда вся масса, создающая поле тяготения, находится в одной точке^[1]. Это обстоятельство заставляет рассматривать движение в упрощённом виде. Если траектория движения звезды в галактике близка к окружности, то можно рассмотреть круговую орбиту в плоскости галактики, по которой движение происходило бы с той же частотой ${\displaystyle \Omega }$, и исследовать колебания звезды относительно точки на круговой орбите. Частота таких колебаний в плоскости диска называется эпициклической частотой и обозначается ${\displaystyle \kappa }$^[2]. Например, для потенциала точечной массы, в котором ${\displaystyle \Omega \propto R^{-3/2}}$ и движение пробного тела происходит в согласии с законами Кеплера, ${\displaystyle \kappa =\Omega }$. В других случаях, которые могут возникнуть на практике, чаще всего ${\displaystyle \Omega \lesssim \kappa \lesssim 2\Omega }$^[3].

Рассмотрение задачи в таком виде называется эпициклическим приближением. Название связано с тем, что движение в плоскости галактики относительно кругового движения происходит по эллипсу и тем самым напоминает движение по эпициклу^[2].

В общем виде уравнения движения звезды в цилиндрических координатах ${\displaystyle R,\theta ,z}$ в потенциале ${\displaystyle \Phi =\Phi (R,\theta ,z)}$ выглядят следующим образом^[1][2]:

${\displaystyle {\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}=R\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}\,,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,.}$

Для осесимметричного потенциала ${\displaystyle \Phi =\Phi (R,z)}$ второе из этих уравнений переписывается в более простом виде: ${\displaystyle R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=h}$, где ${\displaystyle h}$ — постоянная, называемая интегралом площадей. Движение по орбите, близкой к круговой, можно рассматривать как сумму кругового движения по орбите вокруг центра галактики в плоскости диска и малых отклонений. В цилиндрических координатах ${\displaystyle R,\theta ,z}$ движение будет выражено формулами^[2]:

${\displaystyle R=R_{0}+\delta R\,,}$

${\displaystyle \theta =\theta _{0}+\delta \theta =\omega _{0}(t-t_{0})+\delta \theta \,,}$

${\displaystyle z=\delta z\,.}$

Здесь ${\displaystyle R_{0}}$ — радиус соответствующей круговой орбиты, ${\displaystyle \theta _{0}}$ — азимутальный угол относительно центра галактики, соответствующий движению по окружности. Для заданной орбиты можно определить ${\displaystyle R_{0}}$ так, чтобы ${\displaystyle h}$ для круговой орбиты с радиусом ${\displaystyle R_{0}}$ совпадал с ${\displaystyle h}$ для заданной. Также при помощи ${\displaystyle h}$ можно переписать первое уравнение движения^[2].

${\displaystyle {\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}={\frac {h^{2}}{R^{3}}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\,,}$

${\displaystyle R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=h\,,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,.}$

Частота вращения галактики ${\displaystyle \omega _{0}}$ на радиусе ${\displaystyle R_{0}}$ определяется как ${\displaystyle \omega _{0}=h/R_{0}^{2}}$. Рассматривая круговые орбиты, из первого уравнения можно получить следующее выражение, в котором нижний индекс 0 означает взятие производной в точке ${\displaystyle R_{0}}$^[2]:

${\displaystyle h^{2}=-R_{0}^{3}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}\,.}$

Потенциал ${\displaystyle \Phi (R,z)}$ можно разложить в ряд по степеням ${\displaystyle R-R_{0}}$ и ${\displaystyle z}$ и оставить только первые степени. Тогда получится^[2]:

${\displaystyle {\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}=\left[1-\left({\frac {R}{R_{0}}}\right)^{-3}\right]\left({\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}+\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}\right)(R-R_{0})\,,}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\omega _{0}\left({\frac {R}{R_{0}}}\right)^{-2}\,,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}z\,.}$

Возвращаясь к значениям малых отклонений от кругового движения, можно переписать уравнения как^[2]:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\delta R}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}+{\frac {3}{R}}{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}\delta R\,,}$

${\displaystyle {\frac {d\delta \theta }{dt}}=-2{\frac {\omega _{0}}{R_{0}}}\delta R\,,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}\delta z\,.}$

Значения, заключённые в скобки, являются отрицательными. Таким образом, эти уравнения описывают малые колебания: можно ввести следующие обозначения^[2]:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}+{\frac {3}{R}}{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}=-\kappa ^{2}\,,}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}=-\nu ^{2}\,.}$

Тогда решения уравнений примут следующий вид^[2]:

${\displaystyle \delta R=a\sin \kappa (t-t_{1})\,,}$

${\displaystyle \delta \theta =2{\frac {\omega _{0}}{\kappa R_{0}}}a\cos \kappa (t-t_{1})\,,}$

${\displaystyle \delta z=b\sin \nu (t-t_{2})\,.}$

В этих формулах ${\displaystyle a,b,t_{1},t_{2}}$ — постоянные интегрирования. Вид формул означает, что при отклонении от круговой орбиты тело в галактической плоскости движется по эллипсу относительно точки на круговой орбите с частотой ${\displaystyle \kappa }$, а вдоль оси ${\displaystyle z}$ совершает гармонические колебания с частотой ${\displaystyle \nu }$. Величина ${\displaystyle \kappa }$ и называется эпициклической частотой (иногда радиальной частотой), а ${\displaystyle \nu }$ — вертикальной частотой^[4], её квадрат называют динамическим параметром и часто обозначают ${\displaystyle C^{2}}$. Частота колебаний в плоскости и вне плоскости не совпадает, так что орбита в общем случае не является замкнутой^[2].

Эпициклическую частоту в окрестностях Солнца можно оценить через постоянные Оорта: ${\displaystyle \kappa ^{2}=4B(B-A)}$. В этой области ${\displaystyle \kappa }$ равняется приблизительно 32 км/с/кпк и период эпициклических колебаний в окрестностях Солнца равен приблизительно 80 % периода вращения Галактики на том же расстоянии. Динамический параметр ${\displaystyle C^{2}}$ зависит от наблюдаемой дисперсии скоростей в направлении, перпендикулярном диску Галактики ${\displaystyle \sigma _{z}}$, и распределением плотности ${\displaystyle \rho }$^[2]:

${\displaystyle C^{2}=-\sigma _{z}^{2}{\frac {\partial ^{2}\ln \rho }{\partial z^{2}}}\,.}$

В окрестности Солнца период вертикальных колебаний составляет 45 % периода вращения Галактики. Плотность вещества в диске Галактики вблизи Солнца можно выразить через динамический параметр и постоянные Оорта^[2]:

${\displaystyle 4\pi G\rho =C^{2}-2(A^{2}-B^{2})\,.}$

Оценка плотности, получаемая таким образом, называется динамической и составляет для окрестности Солнца 6⋅10⁻²⁴ г/см^3[2].

Потенциал реальных галактик часто не является осесимметричным, и, кроме того, вращается — отклонение от осевой симметрии могут создавать, например, бары. Если отклонение потенциала от осевой симметрии невелико, то его можно представить как сумму осесимметричного потенциала и некоторого возмущения, которое и вращается с угловой скоростью ${\displaystyle \Omega _{b}}$, как и суммарный потенциал. Из-за малости возмущений движение частиц также можно рассматривать как близкое к круговому с частотой ${\displaystyle \Omega _{0}}$ на радиусе ${\displaystyle R_{0}}$, и, следовательно, использовать эпициклическую частоту ${\displaystyle \kappa _{0}}$. Таким образом, возмущения из-за неосесимметричности потенциала на рассматриваемой орбите действуют с частотой ${\displaystyle m(\Omega _{0}-\Omega _{b})}$, где ${\displaystyle m}$ — целое число, соответствующее степени симметрии потенциала: чаще всего рассматривают ${\displaystyle m=2}$, которое соответствует бару или спиральной структуре, состоящей из двух рукавов. Если эта частота совпадает с ${\displaystyle \kappa _{0}}$, то между собственными эпициклическими колебаниями и возмущением возникает резонанс, называемый резонансом Линдблада. Если ${\displaystyle m(\Omega _{0}-\Omega _{b})=\kappa _{0}}$, то это внутренний резонанс Линдблада, если же ${\displaystyle m(\Omega _{0}-\Omega _{b})=-\kappa _{0}}$ — внешний. Существуют и другие, менее важные резонансы Линдблада, каждый из которых расположен на своём радиусе. В отдельно взятой галактике могут наблюдаться какие-то из них, а может и не обнаруживаться никаких^[5][6][7].

• Binney J., Tremaine S. Galactic Dynamics: Second Edition. — Princeton University Press, 2008. — 903 с. — ISBN 978-0-691-13027-9.

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.