H∞-управление

H на бесконечности или ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$ — метод теории управления для синтеза оптимальных регуляторов. Метод является оптимизационным, имеющим дело со строгим математическим описанием предполагаемого поведения замкнутой системы и её устойчивости. Метод примечателен своей строгой математической базой, оптимизационным характером и применимостью как к классическому, так и устойчивому управлению.

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ является нормой в пространстве Харди. «Бесконечность» говорит о выполнении минимаксных условий в частотной области. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-норма динамической системы, имеющая смысл максимального усиления системы по энергии. В случае MIMO-систем она равна максимальному сингулярному числу передаточной функции системы, в случае SISO-систем она равна максимальному значению амплитуды её частотной характеристики.

Сначала система должна быть приведена к стандартному виду:

Объект управления ${\displaystyle \ P}$ имеет два входа, два внешних воздействия ${\displaystyle \ w}$, которые включают задаточный сигнал и возмущения. Контролируемая переменная обозначена ${\displaystyle \ u}$. Это вектор выходных сигналов системы, состоящий из сигнала ошибки ${\displaystyle \ z}$, который надо минимизировать, и измеренная переменная ${\displaystyle \ v}$, которая используется в контуре управления. ${\displaystyle \ v}$ используется в K для подсчёта переменной ${\displaystyle \ u}$.

Уравнение системы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=P(s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=K(s)\,v}$

Таким образом возможно выразить зависимость ${\displaystyle \ z}$ от ${\displaystyle \ w}$:

${\displaystyle z=F_{l}(P,K)\,w}$

И далее:

${\displaystyle F_{l}(P,K)=P_{11}+P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}}$

Таким образом, целью ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-оптимального управления является синтез такого контроллера ${\displaystyle \ K}$, ${\displaystyle \ F_{l}(P,K)}$, который минимизировал бы ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-норму системы. То же относится и к ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$-управлению. Норма на бесконечности матрицы${\displaystyle \ F_{l}(P,K)}$ определяется как:

${\displaystyle ||F_{l}(P,K)||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{l}(P,K)(j\omega ))}$

где ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ — максимальное сингулярное число матрицы ${\displaystyle \ F_{l}(P,K)(j\omega )}$.

Найденный таким образом контроллер является оптимальным в ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-смысле. Существует также ряд приложений, в которых решается так называемая «задача малого усиления (англ. small gain problem)». В рамках этой задачи необходимо найти такой контроллер, который бы обеспечивал выполнение условия

${\displaystyle min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1}$.

Эта задача иногда также называется «стандартной задачей ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-управления».

H∞-управление имеет несколько особенностей в сравнении с другими методами синтеза робастных контроллеров. К преимуществам можно отнести:

• Метод работает с устойчивостью и чувствительностью системы.
• Простой одношаговый алгоритм.
• Точное формирование выходной частотной характеристики.

К недостаткам можно отнести то, что метод требует обращать особое внимание на параметрическую робастность объекта управления.

1. Весовая функция ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-оптимального контроллера представляет собой фазовый фильтр, то есть для наименьшего сингулярного числа системы ${\displaystyle {\bar {\sigma \ }}}$ выполняется соотношение:

${\displaystyle {\bar {\sigma \ }}(F_{l}(P,K))=1}$ для любого ${\displaystyle \omega \ \in R}$

2. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-оптимальный контроллер имеет порядок максимум ${\displaystyle \ n-1}$, где ${\displaystyle \ n}$ — порядок объекта управления.

Для того, чтобы существовал ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-контроллер в стандартной задаче:

${\displaystyle min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1}$

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Представим замкнутую систему в виде уравнений в пространстве состояний:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}$

Должен существовать закон пропорционального управления ${\displaystyle \ F(s)=K}$ такой, чтобы наибольшее сингулярное число матрицы ${\displaystyle \ D}$ замкнутой системы удовлетворяло неравенству ${\displaystyle \sigma _{n}\ (D)<1}$

2. Уравнение Риккати для управления

Уравнение Риккати для управления по состояниям должно иметь вещественное, положительно-определённое решение ${\displaystyle P\geq 0}$.

3. Уравнение Риккати для наблюдателя

Уравнение Риккати для наблюдателя, работающего в паре с контроллером, должно иметь вещественное, положительно-определённое решение ${\displaystyle S\geq 0}$.

4. Ограничение по собственным числам:

Наибольшее собственное число произведения двух решений (для контроллера и наблюдателя) уравнений Риккати должно быть меньше единицы: ${\displaystyle \lambda _{max}(PS)<1}$

• Робастное управление

• Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 тт. Т. 3, Изд.2. 2004.616 с.
• R. Y. Chiang, Modern Robust Control Theory. Ph. D. Dissertation: USC,1988.