SO(10)

SO(10) — разновидность теории Великого объединения, основанная на спинорной группе Spin(10)^[1]. Сокращённое название SO(10) является общепринятым^[2] среди физиков и происходит от группы Ли SO(10), которая является специальной ортогональной группой, дважды покрытой^[англ.] Spin(10).

До теории SU(5), лежащей в основе модели Джорджи–Глэшоу^{[англ.][3]}, Харальд Фрич и Питер Минковский^[англ.] и независимо Говард Джорджи обнаружили, что все содержимое материи включено в одно представление, спинорное 16 из SO(10). Однако, Джорджи нашёл теорию SO(10) всего за несколько часов до того, как нашёл SU(5) в конце 1973 года^[4].

Она имеет правила ветвления^[англ.], [SU(5)×U(1)_χ]/Z₅.

${\displaystyle 45\rightarrow 24_{0}\oplus 10_{-4}\oplus {\overline {10}}_{4}\oplus 1_{0}}$

${\displaystyle 16\rightarrow 10_{1}\oplus {\bar {5}}_{-3}\oplus 1_{5}}$

${\displaystyle 10\rightarrow 5_{-2}\oplus {\bar {5}}_{2}.}$

Если гиперзаряд содержится в SU(5), то это обычная модель Джорджи–Глэшоу^[англ.], в которой 16 — поля материи, 10 -э лектрослабое поле Хиггса и 24 — в 45 — поле Хиггса ТВО. Суперпотенциал^[англ.] может затем включать перенормируемые члены вида Tr(45 45); Tr(45 45 45); 10 45 10, 10 16* 16 и 16* 16. Первые три отвечают за нарушение калибровочной симметрии при низких энергиях и дают массу Хиггса, а последние два дают массы частиц материи и их взаимодействия Юкавы с Хиггсом.

Существует ещё одна возможная модификация, при которой гиперзаряд представляет собой линейную комбинацию генератора SU(5) и χ. Она известна как перевёрнутая SU(5)^[англ.].

Другая важная подгруппа-это либо [SU(4) × SU(2)_L × SU(2)_R]/Z₂, либо Z₂ [SU(4) × SU(2)_L × SU(2)_R]/Z₂, в зависимости от того, нарушена ли лево-правая симметрия, что приводит к модели Пати-Салама^[англ.], правило ветвления которой

${\displaystyle 45\rightarrow (15,1,1)\oplus (6,2,2)\oplus (1,3,1)\oplus (1,1,3)}$

${\displaystyle 16\rightarrow (4,2,1)\oplus ({\bar {4}},1,2).}$

Нарушение симметрии SO(10) обычно выполняется с помощью сочетания (( a 45_H OR a 54_H) AND ((a 6_H AND a ${\displaystyle {\overline {16}}_{H}}$) OR (a 126_H AND a ${\displaystyle {\overline {126}}_{H}}$)) ).

Допустим, мы выбираем 54_H. Когда это поле Хиггса приобретает вакуммное среднее в масштабе ТВО, мы имеем нарушение симметрии до Z₂ [SU(4) × SU(2)_L × SU(2) _R]/Z₂, т. е. модель Пати-Салама^[англ.] с лево-правой симметрией Z₂.

Если вместо этого у нас есть 45_H, это поле Хиггса может получить любое вакуммное среднее в двумерном подпространстве, не нарушая стандартную модель. В зависимости от направления этой линейной комбинации мы можем нарушить симметрию до SU(5)×U(1), модели Джорджи–Глэшоу^[англ.] с U(1) (diag(1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1)), перевёрнутой SU(5)^[англ.] (diag(1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1)), SU(4)×SU(2)×U(1) (diag(0,0,0,1,1,0,0,0,-1,-1)), минимальной лево-правой модели (diag(1,1,1,0,0,-1,-1,-1,0,0)) или SU(3)×SU(2)×U(1)×U(1) для любого другого ненулевого вакуумного среднего.

Выбор diag(1,1,1,0,0,-1,-1,-1,0,0) называется механизмом Димопулоса-Вильчека^[англ.], он же "механизм отсутствия вакуумного среднего", и он пропорционален B−L.

Выбор 16_H и ${\displaystyle {\overline {16}}_{H}}$ разбивает калибровочную группу до уровня Джорджи–Глэшоу SU(5). Тот же комментарий относится к выбору ССС и DDD.

Это объединение как 45/54, так и 16/${\displaystyle {\overline {16}}}$ или 126/${\displaystyle {\overline {126}}}$, которое возвращает SO(10) к стандартной модели.

Электрослабые дублеты Хиггса происходят от SO(10) 10_H. К сожалению, эти же 10 также содержат тройняшки. Массы дублетов должны быть стабилизированы в электрослабом масштабе, который на много порядков меньше, чем масштаб ТВО, в то время как триплеты должны быть действительно тяжёлыми, чтобы предотвратить распад протона, опосредованный триплетами. См. проблему расщепления дублета–триплета^[англ.].

Среди решений для этого — механизм Димопулоса-Вильчека, или выбор diag(0,0,0,1,1,0,0,0,-1,-1) от <45>. К сожалению, он не является стабильным, так как сектор 16/${\displaystyle {\overline {16}}}$ или 126/${\displaystyle {\overline {126}}}$ взаимодействует с сектором 45.^[5]

Материю представляют три экземпляра (поколения) из 16 представлений. Взаимодействие Юкавы — это 10_H 16_f 16_f. Jyj включает в себя правостороннее нейтрино. Можно либо включить три копии синглетных представлений φ и взаимодействие Юкавы ${\displaystyle <{\overline {16}}_{H}>16_{f}\phi }$ ("механизм двойных качелей"); либо добавить взаимодействие Юкавы ${\displaystyle <{\overline {126}}_{H}>16_{f}16_{f}}$ или добавить ненормируемую связь ${\displaystyle <{\overline {16}}_{H}><{\overline {16}}_{H}>16_{f}16_{f}}$. См. механизм качелей.

Поле 16_f распадается на [SU(5)×U(1)_χ]/Z₅ и SU(4) × SU(2)_L × SU(2)_R как

${\displaystyle 16\rightarrow 10_{1}\oplus {\bar {5}}_{-3}\oplus 1_{5}}$

${\displaystyle 16\rightarrow (4,2,1)\oplus ({\bar {4}},1,2).}$

45 полей распадаются на [SU(5)×U(1)_χ]/Z₅ и SU(4) × SU(2)_L × SU(2)_R как

${\displaystyle 45\rightarrow 24_{0}\oplus 10_{-4}\oplus {\overline {10}}_{4}\oplus 1_{0}}$

${\displaystyle 45\rightarrow (15,1,1)\oplus (6,2,2)\oplus (1,3,1)\oplus (1,1,3)}$

и на стандартную модель [SU(3)_C × SU(2)_L × U(1)_Y]/Z₆ как

${\displaystyle {\begin{aligned}45\rightarrow &(8,1)_{0}\oplus (1,3)_{0}\oplus (1,1)_{0}\oplus \\&(3,2)_{-{\frac {5}{6}}}\oplus ({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}\oplus \\&(3,1)_{\frac {2}{3}}\oplus ({\bar {3}},1)_{-{\frac {2}{3}}}\oplus (1,1)_{1}\oplus (1,1)_{-1}\oplus (1,1)_{0}\oplus \\&(3,2)_{\frac {1}{6}}\oplus ({\bar {3}},2)_{-{\frac {1}{6}}}.\\\end{aligned}}}$

Четыре линии — это SU(3)_C, SU(2)_L и U(1)_B−L бозоны; лептокварки SU(5), которые не изменяют заряд X^[англ.]; лептокварки Пати-Салама^[англ.] и бозоны SU(2)_R; и новые SO(10) лептокварки. (Стандартное электрослабое взаимодействие U(1)_Y представляет собой линейную комбинацию бозонов (1,1)₀.)

• Эти рисунки относятся к X-бозонам и бозонам Хиггса.
• 
  6-мерный распад протона, опосредованный X-бозоном ${\displaystyle (3,2)_{-{\frac {5}{6}}}}$ в SU(5) ТВО
• 
  6-мерный распад протона, опосредованный X-бозоном ${\displaystyle (3,2)_{-{\frac {1}{6}}}}$ в перевёрнутой SU(5) ТВО

Модель ТВО SO(10) содержит как модель Джорджи-Глэшоу SU(5), так и перевёрнутую SU(5).

Давно известно, что модель SO(10) свободна от всех возмущающих локальных аномалий, вычислимых диаграммами Фейнмана. Однако только в 2018 году стало ясно, что SO(10) модель также свободна от всех непертурбативных глобальных аномалий^[англ.] на неспиновых многообразиях --- важное правило для подтверждения согласованности теории великого объединения SO(10) со Spin(10) калибровочной группой и киральными фермионами в 16-мерных спинорных представлениях, определённых на неспиновых многообразиях^[англ.]. ^[6][7]

• Перевёрнутая SO(10)^[англ.].