Variacijski problem

Osnovni variacijski problem se glasi:

Naj bo dana primerna funkcija ${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ (Lagrangeeva funkcija) in interval ${\displaystyle {\mathcal {I}}=[a,b]}$. Na intervalu ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ iščemo funkcijo ${\displaystyle y:{\mathcal {I}}\to \mathbb {R} }$, ki da funkcionalu ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (y)=\int _{a}^{b}L(x,y,y')\,dx}$

ekstremno (minimalno ali maksimalno) vrednost.

Funkcija ${\displaystyle y}$ mora pri tem zadoščati določenim geometrijskim pogojem, npr.: ${\displaystyle y(a)=A}$, ${\displaystyle y(b)=B}$.

Rešitev variacijskega problema ustreza Euler-Lagrangeevi enačbi

${\displaystyle {\partial L \over \partial y}-{d \over dx}{\partial L \over \partial y'}=0\!\,.}$

• Euler-Lagrangeeva enačba
• variacijski račun

• Egon Zakrajšek, Analiza III, DMFA, Ljubljana 2002, str. 120-121. (COBISS)