Безуов став

Безуов став је једна од алгебарских теорема која дефинише дељивост два полинома при специјалном случају када је делилац облика ${\displaystyle x-\alpha }$. Може се употребити за растављање полинома на чиниоце. Добио је име по француском математичару Етјену Безуу.^[1][2][3]

Теорема (Безуов став). Нека је дат полином ${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}\;(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} )}$, и нека је дат полином ${\displaystyle Q(x)=x-\alpha \;(\alpha \in \mathbb {R} )}$, тада полином ${\displaystyle P(x)}$ при дељењу полиномом ${\displaystyle Q(x)}$ даје остатак ${\displaystyle P(\alpha )}$. Специјално ако је ${\displaystyle P(\alpha )=0}$ полином ${\displaystyle P(x)}$ је дељив полиномом ${\displaystyle Q(x)}$.

Доказ. При општем случају, дељење два полинома се може записати као:

${\displaystyle P(x)=B(x)\cdot Q(x)+R}$

Где је ${\displaystyle B(x)}$ неки полином који представља количник, а ${\displaystyle R}$ остатак при дељењу полинома ${\displaystyle P(x)}$ са ${\displaystyle Q(x)}$. Замењивањем ${\displaystyle Q(x)=x-\alpha }$ се добија:

${\displaystyle P(x)=B(x)(x-\alpha )+R}$

Коначно, при случају ${\displaystyle x=\alpha }$ се добија

${\displaystyle P(\alpha )=B(\alpha )(\alpha -\alpha )+R,}$

односно, ${\displaystyle P(\alpha )=R}$ што је и требало доказати.

Ако узмемо полином:

${\displaystyle X^{2}+3X+2\,}$

Узећемо једини слободан члан, а то је у овом случају број 2 и одредићемо његове позитивне и негативне делиоце (1, -1, 2,-2). Ове делиоце ћемо замењивати за Х. Делићемо једначину са (Х-n(број са чијом смо заменом добили нулу)). Одређујемо:

${\displaystyle p(x)=X^{2}+3X+2\,}$

За +1 добија се:

${\displaystyle p(+1)=1+3+2=6\neq 0\,}$

Следи да полином није дељив са X-1.

За -1 добија се:

${\displaystyle p(-1)=1-3+2=0\,}$

Следи да је полином дељив са X+1.

За +2 добија се:

${\displaystyle p(+2)=4+6+2=12\neq 0\,}$

Следи да полином није дељив са X-2.

За -2 добија се:

${\displaystyle p(-2)=4-6+2=0\,}$

Следи да је полином дељив са X+2.

Након ове необавезне провере, дељење изгледа овако:

Дељење са X+1

${\displaystyle (X^{2}+3X+2):(X+1)=X+2\,}$

${\displaystyle -(X^{2}+X)\,}$

${\displaystyle 2X+2\,}$

${\displaystyle -(2X+2)\,}$

${\displaystyle 0\,}$

Провера дељења

${\displaystyle (X+2)(X+1)=X^{2}+2X+X+2=X^{2}+3X+2\,}$

Дељење са X-1

${\displaystyle (X^{2}+3X+2):(X-1)=X+4\,}$ и остатак ${\displaystyle 6\,}$

${\displaystyle -(X^{2}-X)\,}$

${\displaystyle 4X+2\,}$

${\displaystyle -(4X-4)\,}$

${\displaystyle 6\,}$

Провера дељења

${\displaystyle (X+4)(X-1)+6=X^{2}+4X-X-4+6=X^{2}+3X+2\,}$

Дељење са X+2:

${\displaystyle (X^{2}+3X+2):(X+2)=X+1\,}$

${\displaystyle -(X^{2}+2X)\,}$

${\displaystyle X+2\,}$

${\displaystyle -(X+2)\,}$

${\displaystyle 0\,}$

Провера дељења

${\displaystyle (X+1)(X+2)=X^{2}+X+2X+2=X^{2}+3X+2\,}$

Дељење са X-2

${\displaystyle (X^{2}+3X+2):(X-2)=X+5\,}$ и остатак ${\displaystyle 12\,}$

${\displaystyle -(X^{2}-2X)\,}$

${\displaystyle 5X+2\,}$

${\displaystyle -(5X-10)\,}$

${\displaystyle 12\,}$

Провера дељења

${\displaystyle (X+5)(X-2)+12=X^{2}+5X-2X-10+12=X^{2}+3X+2\,}$

• Хорнерова шема

• Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-4541-2. 

Овај чланак везан за математику је клица. Можете допринети Википедији тако што ћете га проширити.

• п
• р
• у