Дефиниције непрекидности

Дефиницију на ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$ језику је дао Коши и та дефиниција је везана је за функције реалних бројева.

Посматрајмо функцију ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} ,X\subseteq \mathbb {R} }$. Нека је ${\displaystyle x_{0}\in X}$ тачка нагомилавања скупа ${\displaystyle X}$.

Функција ${\displaystyle f}$ је непрекидна у тачки ${\displaystyle x_{0}}$, ако је:

${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon )}$

Ова дефиниција је еквивалентна са:

Функција ${\displaystyle f}$ је непрекидна у тачки ${\displaystyle x_{0}}$, ако је:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$

Овом дефиницијом непрекидну функцију je Хајне дао преко граничне вредности низа.

Реална функција ${\displaystyle f}$ је непрекидна ако за сваки низ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, такав да

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=L}$,

важи

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(L)}$

Овде смо наравно претпоставили да сваки члан низа припада домену функције.

Функција ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ је непрекидна у тачки ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ако:

${\displaystyle (\forall V\in {\mathcal {V}}(f(x_{0})))(\exists U\in {\mathcal {V}}(x_{0}))(f(U\cap X)\subseteq V)}$

За функцију између два тополошка простора се каже да је непрекидна ако она сваки отворени инверзни скуп пресликава у отворени скуп.

Посматрајмо функцију ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$,

функција је непрекидна са леве стране у тачки ${\displaystyle x_{0}}$ ако

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})}$

функција је непрекидна са десне стране у тачки ${\displaystyle x_{0}}$ ако

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})}$

Теорема: Функција ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ је непрекидна у тачки ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ако и само ако је непрекидна у тој тачки и са леве и са десне стране.

• Непрекидна функција
• Непрекидност
• Дефиниција

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.