Дирихлеов карактер

У аналитичкој теорији бројева и сродним гранама математике, комплексно-вредносна аритметичка функција ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ је Дирихлеов карактер модула ${\displaystyle m}$ (где је ${\displaystyle m}$ позитиван цео број) ако за све целе бројеве ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ важи:^[1]

1. ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b);}$ то јест, ${\displaystyle \chi }$ је потпуно мултипликативна функција.
2. ${\displaystyle \chi (a){\begin{cases}=0&{\text{ако је }}\gcd(a,m)>1\\\neq 0&{\text{ако је }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$ (gcd је највећи заједнички делилац)
3. ${\displaystyle \chi (a+m)=\chi (a)}$; то јест, ${\displaystyle \chi }$ је периодична са периодом ${\displaystyle m}$.

Најједноставнији могући карактер, назван главни карактер, који се обично означава са ${\displaystyle \chi _{0}}$ (погледајте Нотација испод), постоји за све модуле:^[2]

${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}0&{\text{ако је }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{ако је }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$

Немачки математичар Петер Густав Лежен Дирихле — по коме је карактер добио име — увео је ове функције у свом раду из 1837. године о простим бројевима у аритметичким прогресијама.^[3][4] У том раду, користећи концепте математичке анализе за решавање алгебарског проблема, Дирихле је практично утемељио грану аналитичке теорије бројева.^[5] При доказивању своје теореме, увео је Дирихлеове карактере и L-функције.^[5][6]

${\displaystyle \phi (n)}$ је Ојлерова фи функција.^[7]

${\displaystyle \zeta _{n}}$ је комплексни примитивни n-ти корен јединице:

${\displaystyle \zeta _{n}^{n}=1,}$ али ${\displaystyle \zeta _{n}\neq 1,\zeta _{n}^{2}\neq 1,...\zeta _{n}^{n-1}\neq 1.}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ је група јединица мод ${\displaystyle m}$. Има ред ${\displaystyle \phi (m).}$

${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ је група Дирихлеових карактера мод ${\displaystyle m}$.

${\displaystyle p,p_{k},}$ итд. су прости бројеви.

${\displaystyle (m,n)}$ је стандардна^[8] скраћеница^[9] за ${\displaystyle \gcd(m,n)}$

${\displaystyle \chi (a),\chi '(a),\chi _{r}(a),}$ итд. су Дирихлеови карактери. (мало грчко слово хи за „карактер”)

Не постоји стандардна нотација за Дирихлеове карактере која укључује модул. У многим контекстима (као у доказу Дирихлеове теореме) модул је фиксиран. У другим контекстима, као у овом чланку, појављују се карактери различитих модула. Где је прикладно, овај чланак користи варијацију Конрејевог означавања (које је увео Брајан Конреј и користи ЛМФДБ).

У овом означавању, карактери за модул ${\displaystyle m}$ означавају се са ${\displaystyle \chi _{m,t}(a)}$ где је индекс ${\displaystyle t}$ описан у одељку група карактера испод. У овом означавању, ${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)}$ означава неодређени карактер, а ${\displaystyle \chi _{m,1}(a)}$ означава главни карактер мод ${\displaystyle m}$.

Реч „карактер” се користи на неколико начина у математици. У овом одељку, односи се на хомоморфизам из групе ${\displaystyle G}$ (написане мултипликативно) у мултипликативну групу поља комплексних бројева:

${\displaystyle \eta :G\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;\;\eta (gh)=\eta (g)\eta (h),\;\;\eta (g^{-1})=\eta (g)^{-1}.}$

Скуп карактера означава се са ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ Ако се производ два карактера дефинише тачкастим множењем ${\displaystyle \eta \theta (a)=\eta (a)\theta (a),}$ идентитет тривијалним карактером ${\displaystyle \eta _{0}(a)=1}$ и инверз комплексном инверзијом ${\displaystyle \eta ^{-1}(a)=\eta (a)^{-1}}$, тада ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ постаје абелова група.^[10]

Ако је ${\displaystyle A}$ коначна абелова група, тада^[11] постоји изоморфизам ${\displaystyle A\cong {\widehat {A}}}$, и важе релације ортогоналности:^[12]

${\displaystyle \sum _{a\in A}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ ако је }}\eta =\eta _{0}\\0&{\text{ ако је }}\eta \neq \eta _{0}\end{cases}}}$     и     ${\displaystyle \sum _{\eta \in {\widehat {A}}}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ ако је }}a=1\\0&{\text{ ако је }}a\neq 1.\end{cases}}}$

Елементи коначне абелове групе ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ су класе остатака ${\displaystyle [a]=\{x:x\equiv a{\pmod {m}}\}}$ где је ${\displaystyle (a,m)=1.}$

Групни карактер ${\displaystyle \rho :(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ се може проширити на Дирихлеов карактер ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ дефинисањем

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{ако је }}[a]\not \in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{тј. }}(a,m)>1\\\rho ([a])&{\text{ако је }}[a]\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{тј. }}(a,m)=1,\end{cases}}}$

и обрнуто, Дирихлеов карактер мод ${\displaystyle m}$ дефинише групни карактер на ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Парафразирајући Давенпорта,^[13] Дирихлеови карактери се могу сматрати посебним случајем карактера абелових група. Али овај чланак прати Дирихлеа дајући директан и конструктиван приказ. То је делимично из историјских разлога, јер је Дирихлеов рад претходио развоју теорије група за неколико деценија, а делимично из математичког разлога, наиме што група у питању има једноставну и занимљиву структуру која се замагљује ако се третира као општа абелова група.

4) Пошто је ${\displaystyle \gcd(1,m)=1,}$ својство 2) каже да је ${\displaystyle \chi (1)\neq 0}$, па се може скратити са обе стране једнакости ${\displaystyle \chi (1)\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)}$:

${\displaystyle \chi (1)=1.}$^[14]

5) Својство 3) је еквивалентно са

ако је ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$   онда је ${\displaystyle \chi (a)=\chi (b).}$

6) Својство 1) имплицира да, за било који позитиван цео број ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \chi (a^{n})=\chi (a)^{n}.}$

7) Ојлерова теорема каже да ако је ${\displaystyle (a,m)=1}$, онда је ${\displaystyle a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}.}$ Према томе,

${\displaystyle \chi (a)^{\phi (m)}=\chi (a^{\phi (m)})=\chi (1)=1.}$

То јест, ненулте вредности од ${\displaystyle \chi (a)}$ су ${\displaystyle \phi (m)}$-ти корени јединице:

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{ако је }}\gcd(a,m)>1\\\zeta _{\phi (m)}^{r}&{\text{ако је }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}$

за неки цео број ${\displaystyle r}$ који зависи од ${\displaystyle \chi ,\zeta ,}$ и ${\displaystyle a}$. Ово имплицира да постоји само коначан број карактера за дати модул.

8) Ако су ${\displaystyle \chi }$ и ${\displaystyle \chi '}$ два карактера за исти модул, и њихов производ ${\displaystyle \chi \chi ',}$ дефинисан тачкастим множењем, јесте карактер:

${\displaystyle \chi \chi '(a)=\chi (a)\chi '(a)}$   (${\displaystyle \chi \chi '}$ очигледно задовољава 1-3).^[15]

Главни карактер је идентитет:

${\displaystyle \chi \chi _{0}(a)=\chi (a)\chi _{0}(a)={\begin{cases}0\times 0&=\chi (a)&{\text{ако је }}\gcd(a,m)>1\\\chi (a)\times 1&=\chi (a)&{\text{ако је }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$

9) Нека ${\displaystyle a^{-1}}$ означава инверз од ${\displaystyle a}$ у ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$. Тада је

${\displaystyle \chi (a)\chi (a^{-1})=\chi (aa^{-1})=\chi (1)=1,}$ па је ${\displaystyle \chi (a^{-1})=\chi (a)^{-1},}$ што проширује својство 6) на све целе бројеве.

Комплексни конјугат корена јединице је такође његов инверз (погледајте овде за детаље), па за ${\displaystyle (a,m)=1}$ важи

${\displaystyle {\overline {\chi }}(a)=\chi (a)^{-1}=\chi (a^{-1}).}$   (${\displaystyle {\overline {\chi }}}$ такође очигледно задовољава 1-3).

Дакле, за све целе бројеве ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \chi (a){\overline {\chi }}(a)={\begin{cases}0&{\text{ако је }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{ако је }}\gcd(a,m)=1\end{cases}};}$   другим речима ${\displaystyle \chi {\overline {\chi }}=\chi _{0}}$. 

10) Множење и идентитет дефинисани у 8) и инверзија дефинисана у 9) претварају скуп Дирихлеових карактера за дати модул у коначну абелову групу.

Постоје три различита случаја јер групе ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ имају различите структуре у зависности од тога да ли је ${\displaystyle m}$ степен 2, степен непарног простог броја, или производ степена простих бројева.^[16]

Ако је ${\displaystyle q=p^{k}}$ непаран број, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ је циклична реда ${\displaystyle \phi (q)}$; генератор се назива примитивни корен мод ${\displaystyle q}$.^[17] Нека је ${\displaystyle g_{q}}$ примитивни корен и за ${\displaystyle (a,q)=1}$ дефинишемо функцију ${\displaystyle \nu _{q}(a)}$ (индекс од ${\displaystyle a}$) са

${\displaystyle a\equiv g_{q}^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}$

${\displaystyle 0\leq \nu _{q}<\phi (q).}$

За ${\displaystyle (ab,q)=1,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}$ ако и само ако је ${\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}$ Пошто је

${\displaystyle \chi (a)=\chi (g_{q}^{\nu _{q}(a)})=\chi (g_{q})^{\nu _{q}(a)},}$   ${\displaystyle \chi }$ је одређен својом вредношћу на ${\displaystyle g_{q}.}$

Нека је ${\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\phi (q)}}$ примитивни ${\displaystyle \phi (q)}$-ти корен јединице. Из својства 7) изнад, могуће вредности од ${\displaystyle \chi (g_{q})}$ су ${\displaystyle \omega _{q},\omega _{q}^{2},...\omega _{q}^{\phi (q)}=1.}$ Ове различите вредности дају ${\displaystyle \phi (q)}$ Дирихлеових карактера мод ${\displaystyle q.}$ За ${\displaystyle (r,q)=1}$ дефинишемо ${\displaystyle \chi _{q,r}(a)}$ као

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{ако је }}\gcd(a,q)>1\\\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{ако је }}\gcd(a,q)=1.\end{cases}}}$

Тада за ${\displaystyle (rs,q)=1}$ и све ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab),}$ што показује да је ${\displaystyle \chi _{q,r}}$ карактер, и

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a),}$ што даје експлицитан изоморфизам ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

2 је примитивни корен мод 3.   (${\displaystyle \phi (3)=2}$)

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {3}},}$

па су вредности од ${\displaystyle \nu _{3}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2\\\hline \nu _{3}(a)&0&1\\\end{array}}}$.

Ненулте вредности карактера мод 3 су

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2\\\hline \chi _{3,1}&1&1\\\chi _{3,2}&1&-1\\\end{array}}}$

2 је примитивни корен мод 5.   (${\displaystyle \phi (5)=4}$)

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 3,\;2^{4}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {5}},}$

па су вредности од ${\displaystyle \nu _{5}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4\\\hline \nu _{5}(a)&0&1&3&2\\\end{array}}}$.

Ненулте вредности карактера мод 5 су

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4\\\hline \chi _{5,1}&1&1&1&1\\\chi _{5,2}&1&i&-i&-1\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1\\\chi _{5,4}&1&-1&-1&1\\\end{array}}}$

3 је примитивни корен мод 7.   (${\displaystyle \phi (7)=6}$)

${\displaystyle 3^{1}\equiv 3,\;3^{2}\equiv 2,\;3^{3}\equiv 6,\;3^{4}\equiv 4,\;3^{5}\equiv 5,\;3^{6}\equiv 3^{0}\equiv 1{\pmod {7}},}$

па су вредности од ${\displaystyle \nu _{7}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4&5&6\\\hline \nu _{7}(a)&0&2&1&4&5&3\\\end{array}}}$.

Ненулте вредности карактера мод 7 су (${\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}$)

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\\hline \chi _{7,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{7,2}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{7,3}&1&\omega ^{2}&\omega &-\omega &-\omega ^{2}&-1\\\chi _{7,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{7,5}&1&-\omega &-\omega ^{2}&\omega ^{2}&\omega &-1\\\chi _{7,6}&1&1&-1&1&-1&-1\\\end{array}}}$.

2 је примитивни корен мод 9.   (${\displaystyle \phi (9)=6}$)

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 8,\;2^{4}\equiv 7,\;2^{5}\equiv 5,\;2^{6}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {9}},}$

па су вредности од ${\displaystyle \nu _{9}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&4&5&7&8\\\hline \nu _{9}(a)&0&1&2&5&4&3\\\end{array}}}$.

Ненулте вредности карактера мод 9 су (${\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}$)

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&4&5&7&8\\\hline \chi _{9,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{9,2}&1&\omega &\omega ^{2}&-\omega ^{2}&-\omega &-1\\\chi _{9,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{9,5}&1&-\omega ^{2}&-\omega &\omega &\omega ^{2}&-1\\\chi _{9,7}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{9,8}&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }}$ је тривијална група са једним елементом. ${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }}$ је циклична група реда 2. За 8, 16 и веће степене 2, не постоји примитивни корен; степени од 5 су јединице ${\displaystyle \equiv 1{\pmod {4}}}$, а њихови негативи су јединице ${\displaystyle \equiv 3{\pmod {4}}.}$^[18] На пример

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {8}}}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 9,\;5^{3}\equiv 13,\;5^{4}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {16}}}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 25,\;5^{3}\equiv 29,\;5^{4}\equiv 17,\;5^{5}\equiv 21,\;5^{6}\equiv 9,\;5^{7}\equiv 13,\;5^{8}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {32}}.}$

Нека је ${\displaystyle q=2^{k},\;\;k\geq 3}$; тада је ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ директан производ цикличне групе реда 2 (генерисане са −1) и цикличне групе реда ${\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}$ (генерисане са 5). За непарне бројеве ${\displaystyle a}$ дефинишемо функције ${\displaystyle \nu _{0}}$ и ${\displaystyle \nu _{q}}$ са

${\displaystyle a\equiv (-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}$

${\displaystyle 0\leq \nu _{0}<2,\;\;0\leq \nu _{q}<{\frac {\phi (q)}{2}}.}$

За непарне ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}$ ако и само ако је ${\displaystyle \nu _{0}(a)=\nu _{0}(b)}$ и ${\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}$ За непаран ${\displaystyle a}$ вредност ${\displaystyle \chi (a)}$ је одређена вредностима од ${\displaystyle \chi (-1)}$ и ${\displaystyle \chi (5).}$ Нека је ${\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\frac {\phi (q)}{2}}}$ примитивни ${\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}$-ти корен јединице. Могуће вредности ${\displaystyle \chi ((-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)})}$ су ${\displaystyle \pm \omega _{q},\pm \omega _{q}^{2},...\pm \omega _{q}^{\frac {\phi (q)}{2}}=\pm 1.}$ Ове различите вредности дају ${\displaystyle \phi (q)}$ Дирихлеових карактера мод ${\displaystyle q.}$ За непаран ${\displaystyle r}$ дефинишемо ${\displaystyle \chi _{q,r}(a)}$ са

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{ако је }}a{\text{ паран}}\\(-1)^{\nu _{0}(r)\nu _{0}(a)}\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{ако је }}a{\text{ непаран}}.\end{cases}}}$

Тада за непарне ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ и све ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab)}$ што показује да је ${\displaystyle \chi _{q,r}}$ карактер, и

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a)}$ што показује да је ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Једини карактер мод 2 је главни карактер ${\displaystyle \chi _{2,1}}$.

−1 је примитивни корен мод 4 (${\displaystyle \phi (4)=2}$)

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3\\\hline \nu _{0}(a)&0&1\\\end{array}}}$

Ненулте вредности карактера мод 4 су

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3\\\hline \chi _{4,1}&1&1\\\chi _{4,3}&1&-1\\\end{array}}}$

−1 и 5 генеришу јединице мод 8 (${\displaystyle \phi (8)=4}$)

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1\\\nu _{8}(a)&0&1&1&0\\\end{array}}}$.

Ненулте вредности карактера мод 8 су

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3&5&7\\\hline \chi _{8,1}&1&1&1&1\\\chi _{8,3}&1&1&-1&-1\\\chi _{8,5}&1&-1&-1&1\\\chi _{8,7}&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$

−1 и 5 генеришу јединице мод 16 (${\displaystyle \phi (16)=8}$)

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1&0&1&0&1\\\nu _{16}(a)&0&3&1&2&2&1&3&0\\\end{array}}}$.

Ненулте вредности карактера мод 16 су

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,5}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{16,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,11}&1&i&i&1&-1&-i&-i&-1\\\chi _{16,13}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$.

Нека је ${\displaystyle m=p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}=q_{1}q_{2}\cdots q_{k}}$ где је ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$ факторизација од ${\displaystyle m}$ на степене простих бројева. Група јединица мод ${\displaystyle m}$ је изоморфна директном производу група мод ${\displaystyle q_{i}}$:^[19]

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q_{2}\mathbb {Z} )^{\times }\times \dots \times (\mathbb {Z} /q_{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Ово значи да 1) постоји један-на-један кореспонденција између ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ и ${\displaystyle k}$-торки ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}$ где је ${\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$ и 2) множење мод ${\displaystyle m}$ одговара координатном множењу ${\displaystyle k}$-торки:

${\displaystyle ab\equiv c{\pmod {m}}}$ одговара

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{k})}$ где је ${\displaystyle c_{i}\equiv a_{i}b_{i}{\pmod {q_{i}}}.}$

Кинеска теорема о остацима (КТО) имплицира да су ${\displaystyle a_{i}}$ једноставно ${\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}$ Постоје подгрупе ${\displaystyle G_{i}<(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ такве да је^[20]

${\displaystyle G_{i}\cong (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$ и

${\displaystyle G_{i}\equiv {\begin{cases}(\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }&\mod q_{i}\\\{1\}&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}$

Тада је ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong G_{1}\times G_{2}\times ...\times G_{k}}$ и свако ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ одговара ${\displaystyle k}$-торки ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...a_{k})}$ где је ${\displaystyle a_{i}\in G_{i}}$ и ${\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}$ Свако ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ може се јединствено факторисати као ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}...a_{k}.}$ ^{[21] [22]}

Ако је ${\displaystyle \chi _{m,\_}}$ карактер мод ${\displaystyle m,}$ на подгрупи ${\displaystyle G_{i}}$ он мора бити идентичан неком ${\displaystyle \chi _{q_{i},\_}}$ мод ${\displaystyle q_{i}}$. Тада је

${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)=\chi _{m,\_}(a_{1}a_{2}...)=\chi _{m,\_}(a_{1})\chi _{m,\_}(a_{2})...=\chi _{q_{1},\_}(a_{1})\chi _{q_{2},\_}(a_{2})...,}$

што показује да је сваки карактер мод ${\displaystyle m}$ производ карактера мод ${\displaystyle q_{i}}$.

За ${\displaystyle (t,m)=1}$ дефинишемо^[23]

${\displaystyle \chi _{m,t}=\chi _{q_{1},t}\chi _{q_{2},t}...}$

Тада за ${\displaystyle (rs,m)=1}$ и све ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$^[24]

${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,r}(b)=\chi _{m,r}(ab),}$ што показује да је ${\displaystyle \chi _{m,r}}$ карактер, и

${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a),}$ што показује изоморфизам ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Факторизација карактера мод 15 је

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{5,1}&\chi _{5,2}&\chi _{5,3}&\chi _{5,4}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{15,1}&\chi _{15,7}&\chi _{15,13}&\chi _{15,4}\\\chi _{3,2}&\chi _{15,11}&\chi _{15,2}&\chi _{15,8}&\chi _{15,14}\\\end{array}}}$

Ненулте вредности карактера мод 15 су

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&4&7&8&11&13&14\\\hline \chi _{15,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{15,2}&1&-i&-1&i&i&-1&-i&1\\\chi _{15,4}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{15,7}&1&i&-1&i&-i&1&-i&-1\\\chi _{15,8}&1&i&-1&-i&-i&-1&i&1\\\chi _{15,11}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1\\\chi _{15,13}&1&-i&-1&-i&i&1&i&-1\\\chi _{15,14}&1&1&1&-1&1&-1&-1&-1\\\end{array}}}$.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }.}$ Факторизација карактера мод 24 је

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{24,1}&\chi _{24,19}&\chi _{24,13}&\chi _{24,7}\\\chi _{3,2}&\chi _{24,17}&\chi _{24,11}&\chi _{24,5}&\chi _{24,23}\\\end{array}}}$

Ненулте вредности карактера мод 24 су

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&5&7&11&13&17&19&23\\\hline \chi _{24,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{24,5}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\chi _{24,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{24,11}&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\chi _{24,13}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{24,17}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\chi _{24,19}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{24,23}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\end{array}}}$.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}$ Факторизација карактера мод 40 је

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{5,1}&\chi _{40,1}&\chi _{40,11}&\chi _{40,21}&\chi _{40,31}\\\chi _{5,2}&\chi _{40,17}&\chi _{40,27}&\chi _{40,37}&\chi _{40,7}\\\chi _{5,3}&\chi _{40,33}&\chi _{40,3}&\chi _{40,13}&\chi _{40,23}\\\chi _{5,4}&\chi _{40,9}&\chi _{40,19}&\chi _{40,29}&\chi _{40,39}\\\end{array}}}$

Ненулте вредности карактера мод 40 су

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&7&9&11&13&17&19&21&23&27&29&31&33&37&39\\\hline \chi _{40,1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{40,3}&1&i&i&-1&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1\\\chi _{40,7}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{40,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{40,11}&1&1&-1&1&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1\\\chi _{40,13}&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1&1&i&i&-1\\\chi _{40,17}&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1\\\chi _{40,19}&1&-1&1&1&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1\\\chi _{40,21}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&1&-1&1\\\chi _{40,23}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{40,27}&1&-i&-i&-1&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1\\\chi _{40,29}&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&1\\\chi _{40,31}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{40,33}&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1\\\chi _{40,37}&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1&1&-i&-i&-1\\\chi _{40,39}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\end{array}}}$.

Нека је ${\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots =q_{1}q_{2}\cdots }$, ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots }$ факторизација од ${\displaystyle m}$ и претпоставимо ${\displaystyle (rs,m)=1.}$

Постоји ${\displaystyle \phi (m)}$ Дирихлеових карактера мод ${\displaystyle m.}$ Означавају се са ${\displaystyle \chi _{m,r},}$ где је ${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{m,s}}$ еквивалентно са ${\displaystyle r\equiv s{\pmod {m}}.}$ Идентитет ${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a)\;}$ је изоморфизам ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$^[25]

Сваки карактер мод ${\displaystyle m}$ има јединствену факторизацију као производ карактера мод степена простих бројева који деле ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}$

Ако је ${\displaystyle m=m_{1}m_{2},(m_{1},m_{2})=1}$ производ ${\displaystyle \chi _{m_{1},r}\chi _{m_{2},s}}$ је карактер ${\displaystyle \chi _{m,t}}$ где је ${\displaystyle t}$ дато са ${\displaystyle t\equiv r{\pmod {m_{1}}}}$ и ${\displaystyle t\equiv s{\pmod {m_{2}}}.}$

Такође,^[26][27] ${\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}$

Две релације ортогоналности су^[28]

${\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ ако је }}\;\chi =\chi _{0}\\0&{\text{ ако је }}\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}$     и     ${\displaystyle \sum _{\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ ако је }}\;a\equiv 1{\pmod {m}}\\0&{\text{ ако је }}\;a\not \equiv 1{\pmod {m}}.\end{cases}}}$

Релације се могу написати у симетричном облику

${\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ ако је }}\;r\equiv 1\\0&{\text{ ако је }}\;r\not \equiv 1\end{cases}}}$     и     ${\displaystyle \sum _{r\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ ако је }}\;a\equiv 1\\0&{\text{ ако је }}\;a\not \equiv 1.\end{cases}}}$

Прва релација је лака за доказивање: Ако је ${\displaystyle \chi =\chi _{0}}$ постоји ${\displaystyle \phi (m)}$ ненултих сабирака, сваки једнак 1. Ако је ${\displaystyle \chi \neq \chi _{0}}$ постоји^[29] неко ${\displaystyle a^{*},\;(a^{*},m)=1,\;\chi (a^{*})\neq 1.}$  Тада је

${\displaystyle \chi (a^{*})\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*})\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*}a)=\sum _{a}\chi (a),}$^[30]   што имплицира

${\displaystyle (\chi (a^{*})-1)\sum _{a}\chi (a)=0.}$   Дељењем са првим фактором добија се ${\displaystyle \sum _{a}\chi (a)=0,}$ ш.т.д. Идентитет ${\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}$ за ${\displaystyle (rs,m)=1}$ показује да су релације еквивалентне.

Друга релација се може доказати директно на исти начин, али захтева лему^[31]

За дато ${\displaystyle a\not \equiv 1{\pmod {m}},\;(a,m)=1,}$ постоји ${\displaystyle \chi ^{*},\;\chi ^{*}(a)\neq 1.}$

Друга релација има важну последицу: ако је ${\displaystyle (a,m)=1,}$ дефинишимо функцију

${\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }{\bar {\chi }}(a)\chi (n).}$   Тада је

${\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1})\chi (n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1}n)={\begin{cases}1,&n\equiv a{\pmod {m}}\\0,&n\not \equiv a{\pmod {m}},\end{cases}}}$

то јест, ${\displaystyle f_{a}=\mathbb {1} _{[a]}}$ је индикаторска функција класе остатака ${\displaystyle [a]=\{x:\;x\equiv a{\pmod {m}}\}}$. Ово је основа у доказу Дирихлеове теореме.^[32][33]

Сваки карактер мод степена простог броја је такође карактер мод сваког већег степена. На пример, мод 16^[34]

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$

${\displaystyle \chi _{16,3}}$ има период 16, али ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ има период 8, а ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ има период 4:   ${\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}}$ и  ${\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{8,7}=\chi _{4,3}.}$

Кажемо да карактер ${\displaystyle \chi }$ модула ${\displaystyle q}$ има квазипериод ${\displaystyle d}$ ако је ${\displaystyle \chi (m)=\chi (n)}$ за све ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ узајамно просте са ${\displaystyle q}$ који задовољавају ${\displaystyle m\equiv n}$ мод ${\displaystyle d}$.^[35] На пример, ${\displaystyle \chi _{2,1}}$, једини Дирихлеов карактер модула ${\displaystyle 2}$, има квазипериод ${\displaystyle 1}$, али не и период ${\displaystyle 1}$ (има период ${\displaystyle 2}$). Најмањи позитиван цео број за који је ${\displaystyle \chi }$ квазипериодичан је кондуктор од ${\displaystyle \chi }$.^[36] Тако, на пример, ${\displaystyle \chi _{2,1}}$ има кондуктор ${\displaystyle 1}$.

Кондуктор од ${\displaystyle \chi _{16,3}}$ је 16, кондуктор од ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ је 8, а од ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ и ${\displaystyle \chi _{8,7}}$ је 4. Ако су модул и кондуктор једнаки, карактер је примитиван, иначе је непримитиван. Непримитиван карактер је индукован карактером за најмањи модул: ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ је индукован из ${\displaystyle \chi _{8,5}}$, а ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ и ${\displaystyle \chi _{8,7}}$ су индуковани из ${\displaystyle \chi _{4,3}}$.

Сличан феномен се може десити са карактером мод производа простих бројева; његове ненулте вредности могу бити периодичне са мањим периодом.

На пример, мод 15,

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,8}&1&i&0&-1&0&0&-i&-i&0&0&-1&0&i&1&0\\\chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\end{array}}}$.

Ненулте вредности ${\displaystyle \chi _{15,8}}$ имају период 15, док вредности ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ имају период 3, а ${\displaystyle \chi _{15,13}}$ имају период 5. Ово је лакше видети када се упореде са карактерима мод 3 и 5:

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{3,2}&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0\\\hline \chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0\\\end{array}}}$.

Ако је карактер мод ${\displaystyle m=qr,\;\;(q,r)=1,\;\;q>1,\;\;r>1}$ дефинисан као

${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)={\begin{cases}0&{\text{ ако је }}\gcd(a,m)>1\\\chi _{q,\_}(a)&{\text{ ако је }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}$,   или еквивалентно као ${\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{q,\_}\chi _{r,1},}$

његове ненулте вредности су одређене карактером мод ${\displaystyle q}$ и имају период ${\displaystyle q}$.

Најмањи период ненултих вредности је кондуктор карактера. На пример, кондуктор од ${\displaystyle \chi _{15,8}}$ је 15, кондуктор од ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ је 3, а од ${\displaystyle \chi _{15,13}}$ је 5.

Као и у случају степена простих бројева, ако је кондуктор једнак модулу, карактер је примитиван, иначе је непримитиван. Ако је непримитиван, он је индукован карактером са мањим модулом. На пример, ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ је индукован из ${\displaystyle \chi _{3,2}}$, а ${\displaystyle \chi _{15,13}}$ из ${\displaystyle \chi _{5,3}}$.

Главни карактер није примитиван.^[37]

Карактер ${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}$ је примитиван ако и само ако је сваки од фактора примитиван.^[38]

Примитивни карактери често поједностављују (или омогућавају) формуле у теоријама L-функција^[39] и модуларних форми.

${\displaystyle \chi (a)}$ је паран ако је ${\displaystyle \chi (-1)=1}$ и непаран ако је ${\displaystyle \chi (-1)=-1.}$

Ова разлика се појављује у функционалној једначини Дирихлеове L-функције.

Ред карактера је његов ред као елемента групе ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$, тј. најмањи позитиван цео број ${\displaystyle n}$ такав да је ${\displaystyle \chi ^{n}=\chi _{0}.}$ Због изоморфизма ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ред од ${\displaystyle \chi _{m,r}}$ је исти као ред од ${\displaystyle r}$ у ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$ Главни карактер има ред 1; други реални карактери имају ред 2, а имагинарни карактери имају ред 3 или већи. По Лагранжовој теореми ред карактера дели ред од ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$, што је ${\displaystyle \phi (m)}$.

${\displaystyle \chi (a)}$ је реалан или квадратан ако су све његове вредности реалне (морају бити ${\displaystyle 0,\;\pm 1}$); иначе је комлексан или имагинаран.

${\displaystyle \chi }$ је реалан ако и само ако је ${\displaystyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$; ${\displaystyle \chi _{m,k}}$ је реалан ако и само ако је ${\displaystyle k^{2}\equiv 1{\pmod {m}}}$; посебно, ${\displaystyle \chi _{m,-1}}$ је реалан и није главни.^[40]

Дирихлеов оригинални доказ да је ${\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}$ (који је важио само за просте модуле) имао је два различита облика у зависности од тога да ли је ${\displaystyle \chi }$ реалан или не. Његов каснији доказ, важећи за све модуле, био је заснован на његовој формули броја класа.^[41][42]

Реални карактери су Кронекерови симболи;^[43] на пример, главни карактер се може написати^[44] ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}$.

Реални карактери у примерима су:

Ако је ${\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...,\;p_{1}<p_{2}<\;...}$ главни карактер је^[45] ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {p_{1}^{2}p_{2}^{2}...}{\bullet }}\right).}$

${\displaystyle \chi _{16,1}=\chi _{8,1}=\chi _{4,1}=\chi _{2,1}=\left({\frac {4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{9,1}=\chi _{3,1}=\left({\frac {9}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{5,1}=\left({\frac {25}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{7,1}=\left({\frac {49}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,1}=\left({\frac {225}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,1}=\left({\frac {36}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,1}=\left({\frac {100}{\bullet }}\right)}$  

Ако је модул апсолутна вредност фундаменталног дискриминанта, постоји реалан примитиван карактер (постоје два ако је модул дељив са 8); иначе, ако постоје примитивни карактери^[38] они су имагинарни.^[46]

${\displaystyle \chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{5,4}=\left({\frac {5}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{7,6}=\left({\frac {-7}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,14}=\left({\frac {-15}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,5}=\left({\frac {-24}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,11}=\left({\frac {24}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,19}=\left({\frac {-40}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,29}=\left({\frac {40}{\bullet }}\right)}$

${\displaystyle \chi _{8,7}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{9,8}=\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,4}=\chi _{5,4}\chi _{3,1}=\left({\frac {45}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,11}=\chi _{3,2}\chi _{5,1}=\left({\frac {-75}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,7}=\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$  

${\displaystyle \chi _{24,7}=\chi _{8,7}\chi _{3,1}=\chi _{4,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-36}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,13}=\chi _{8,5}\chi _{3,1}=\left({\frac {72}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,17}=\chi _{3,2}\chi _{8,1}=\left({\frac {-12}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,19}=\chi _{8,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-72}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,23}=\chi _{8,7}\chi _{3,2}=\chi _{4,3}\chi _{3,2}=\left({\frac {12}{\bullet }}\right)}$  

${\displaystyle \chi _{40,9}=\chi _{5,4}\chi _{8,1}=\left({\frac {20}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,11}=\chi _{8,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-200}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,21}=\chi _{8,5}\chi _{5,1}=\left({\frac {200}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,31}=\chi _{8,7}\chi _{5,1}=\chi _{4,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-100}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,39}=\chi _{8,7}\chi _{5,4}=\chi _{4,3}\chi _{5,4}=\left({\frac {-20}{\bullet }}\right)}$  

Дирихлеова L-серија за карактер ${\displaystyle \chi }$ је

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Ова серија конвергира само за ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$; може се аналитички наставити на мероморфну функцију.

Дирихле је увео ${\displaystyle L}$-функцију заједно са карактерима у свом раду из 1837. године.

Дирихлеови карактери се појављују на неколико места у теорији модуларних форми и функција. Типичан пример је^[47]

Нека је ${\displaystyle \chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /M\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ и нека је ${\displaystyle \chi _{1}\in {\widehat {(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ примитиван.

Ако је

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}\in M_{k}(M,\chi )}$^[48]

дефинишемо

${\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)=\sum \chi _{1}(n)a_{n}z^{n}}$,^[49]  

Тада је

${\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)\in M_{k}(MN^{2},\chi \chi _{1}^{2})}$. Ако је ${\displaystyle f}$ касп форма, такође је и ${\displaystyle f_{\chi _{1}}.}$

Погледати тета серију Дирихлеовог карактера за други пример.

Гаусов збир Дирихлеовог карактера модуло N је

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{\frac {2\pi ia}{N}}.}$

Појављује се у функционалној једначини Дирихлеове L-функције.

Ако су ${\displaystyle \chi }$ и ${\displaystyle \psi }$ Дирихлеови карактери мод простог броја ${\displaystyle p}$, њихов Јакобијев збир је

${\displaystyle J(\chi ,\psi )=\sum _{a=2}^{p-1}\chi (a)\psi (1-a).}$

Јакобијеви збирови се могу факторисати у производе Гаусових збирова.

Ако је ${\displaystyle \chi }$ Дирихлеов карактер мод ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle \zeta =e^{\frac {2\pi i}{q}}}$, Клостерманов збир ${\displaystyle K(a,b,\chi )}$ је дефинисан као^[50]

${\displaystyle K(a,b,\chi )=\sum _{r\in (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (r)\zeta ^{ar+{\frac {b}{r}}}.}$

Ако је ${\displaystyle b=0}$, то је Гаусов збир.

Није неопходно установити дефинишућа својства 1) – 3) да би се показало да је функција Дирихлеов карактер.

Ако је ${\displaystyle \mathrm {X} :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ таква да је

1)   ${\displaystyle \mathrm {X} (ab)=\mathrm {X} (a)\mathrm {X} (b),}$

2)   ${\displaystyle \mathrm {X} (a+m)=\mathrm {X} (a)}$,

3)   Ако је ${\displaystyle \gcd(a,m)>1}$ онда је ${\displaystyle \mathrm {X} (a)=0}$, али

4)   ${\displaystyle \mathrm {X} (a)}$ није увек 0,

онда је ${\displaystyle \mathrm {X} (a)}$ један од ${\displaystyle \phi (m)}$ карактера мод ${\displaystyle m}$^[51]

Дирихлеов карактер је потпуно мултипликативна функција ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ која задовољава линеарну рекурентну релацију: то јест, ако је ${\displaystyle a_{1}f(n+b_{1})+\cdots +a_{k}f(n+b_{k})=0}$

за све позитивне целе бројеве ${\displaystyle n}$, где ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ нису сви нула и ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{k}}$ су различити, онда је ${\displaystyle f}$ Дирихлеов карактер.^[52]

Дирихлеов карактер је потпуно мултипликативна функција ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ која задовољава следећа три својства: а) ${\displaystyle f}$ узима само коначно много вредности; б) ${\displaystyle f}$ се поништава на само коначно много простих бројева; ц) постоји ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ за које је остатак

${\displaystyle \left|\sum _{n\leq x}f(n)-\alpha x\right|}$

униформно ограничен, када ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$. Ова еквивалентна дефиниција Дирихлеових карактера претпостављена је од стране Чудакова^[53] 1956. године, а доказана је 2017. од стране Клурмана и Мангерела.^[54]

• 8, најмањи модул чији Дирихлеови карактери захтевају више од једног генератора
• 13, најмањи модул чији Дирихлеови карактери садрже бројеве ${\displaystyle \alpha }$ такве да не постоје прости бројеви p у ${\displaystyle Z}$ који су и даље прости у ${\displaystyle Z[\alpha ]}$
• 19, најмањи модул чији Дирихлеови карактери садрже бројеве чији реални и имагинарни делови нису конструктибилни бројеви
• 24, највећи модул чији су сви Дирихлеови карактери реални (Дирихлеови карактери броја n су сви реални ако и само ако је n делитељ 24)
• 47, најмањи модул чији Дирихлеови карактери садрже бројеве ${\displaystyle \alpha }$ такве да је број класе ${\displaystyle h^{-}}$ циклотомичног поља ${\displaystyle Q(\alpha )}$ већи од 1
• 120, најмањи модул чији Дирихлеови карактери захтевају више од три генератора
• 149, најмањи модул чији Дирихлеови карактери садрже бројеве ${\displaystyle \alpha }$ такве да пун број класе ${\displaystyle h^{-}\cdot h^{+}}$ циклотомичног поља ${\displaystyle Q(\alpha )}$ није узајамно прост са најмањим бројем таквим да је ${\displaystyle \alpha ^{n}=1}$ (повезано са ирегуларни прост број)
• 240, највећи модул чији су сви Дирихлеови карактери Гаусови цели бројеви (Дирихлеови карактери броја n су сви Гаусови цели бројеви ако и само ако је n делитељ 240)
• 383, најмањи модул чији Дирихлеови карактери садрже бројеве ${\displaystyle \alpha }$ такве да је број класе ${\displaystyle h^{+}}$ циклотомичног поља ${\displaystyle Q(\alpha )}$ већи од 1
• 504, највећи модул чији су сви Дирихлеови карактери Ајзенштајнови цели бројеви (Дирихлеови карактери броја n су сви Ајзенштајнови цели бројеви ако и само ако је n делитељ 504)
• 840, најмањи модул чији Дирихлеови карактери захтевају више од четири генератора

• Chudakov, N.G. „Theory of the characters of number semigroups”. J. Indian Math. Soc. 20: 11—15. 
• Davenport, Harold (1967). Multiplicative number theory. Lectures in advanced mathematics. 1. Chicago: Markham. Zbl 0159.06303. 
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X 
• Klurman, Oleksiy; Mangerel, Alexander P. (2017). „Rigidity Theorems for Multiplicative Functions”. Math. Ann. 372 (1): 651—697. Bibcode:2017arXiv170707817K. S2CID 119597384. arXiv:1707.07817 . doi:10.1007/s00208-018-1724-6. 
• Koblitz, Neal (1993). Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics. 97 (2nd revised изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2. 
• Landau, Edmund (1966), Elementary Number Theory, New York: Chelsea 
• Sarkozy, Andras. „On multiplicative arithmetic functions satisfying a linear recursion”. Studia Sci. Math. Hung. 13 (1–2): 79—104. 

• Енглески превод Дирихлеовог рада из 1837. о простим бројевима у аритметичким прогресијама
• LMFDB Наводи 30,397,486 Дирихлеових карактера за модул до 10,000 и њихове L-функције