Кошијева интегрална теорема

Овај чланак нема (довољно) веза до других чланака на Википедији. Побољшајте га тако што ћете додати унутрашње везе корисне за разумевање контекста, попут веза ка важним и читаоцу можда непознатим (техничким) терминима. (јун 2025) (детаљније о уклањању овог шаблона обавештења)

Овај чланак можда захтева чишћење и/или прерађивање како би се задовољили стандарди квалитета Википедије. Проблем: Убацити одговарајућу синтаксу за математичке формуле, додати унутрашње везе итд. Ако сте у могућности, побољшајте овај чланак. (3. 2021) (детаљније о уклањању овог шаблона обавештења)

Овај чланак не наводи ниједан извор. Побољшајте га додавањем референци ка поузданим изворима. Садржај непоткрепљен изворима може бити доведен у питање, а потом и избрисан. Претражи Google: "Кошијева интегрална теорема" (вести · новине · књиге · академик · бесплатне слике) · JSTOR Претражи Google: "Košijeva integralna teorema" (вести · новине · књиге · академик · бесплатне слике) · JSTOR (3. 2021) (детаљније о уклањању овог шаблона обавештења)

У математици, Кошијева саставна теорема (такође позната као Коши-Гоурсат теорема) у комплексној анализи, названа по Огистену Лују Кошију, је важна изјава о линијским интегралима за холоморфне функције у комплексној равни. У суштини, она каже да ако две различите путање повежу исте две тачке, а функција је холоморфние свуда "између" две путање, тада ће интеграли функције те бити исти. Теорема се обично формулише за затворене стазе на следећи начин: Нека је У отворен подскуп од Ц, који се једноставно повезује, нека ф: У → Ц буде холоморфна функција, и нека \ \! \ гама буде отклоњиви пут у У чија је почетна тачка једнака њеној крајњој тачки. Тада : ∮ ⨍(z) dz=0

Прецизна ( хомологна ) верзија може се констатовати помоћу кривудавих бројева . Број намотаја затворене криве око тачке на кривој је интеграл ф ( з ) / [ 2 иπ ] , где је ф ( з ) = 1 / ( з -) око криве . То је цео број . Укратко, стаза интеграла дуж Јордан криве функције холоморфне у унутрашњости криве је нула . Уместо једне затворене путање можемо размотрити линеарну комбинацију затворених путева, где су скалари цели бројеви. Таква комбинација се назива затворен ланац, а један дефинише интеграл дуж ланца, као линеарна комбинација интеграла преко појединачних стаза . Затворен ланац се назива циклус у региону ако је хомологна нули у региону, то јест, број намотаја, изражена интегралом од 1 / ( з -) над затвореним ланцом, је нула за сваку тачку која није у региону. То значи да затворени ланац не увија око тачке изван региона. У том случају Кошијева теорема се може изразити: интеграл једне холоморфне функције у отвореном скупу узет око једног циклуса у отвореном скупу је нула . Ова верзија је од кључног значаја за ригорозна извођења Лаурент серије и Кошијеве формуле остатка без укључивања било каквих физичких појмова као што су посекотине или попречне деформације. Верзија омогућава продужење Кошијеве теореме да се умножава - повезана аналитичким регионом.

Ако претпоставимо да су парцијални изводи једне холоморфне функције континуирахе, Кошијева интегрална теорема се може доказати као директна последица Гринове теореме и чињенице да стварни и имагинарни делови ⨍=u+iv мора да задовољит Коши-Риманове једначине у региону омећења \γ , и штавише у отвореном комшилуку U  овог региона. Коши изводи овај доказ, али је касније доказао Гоурсат без коришћења техника из вектора , односно континуитета парцијалних деривата. Можемо сломити интегранд ⨍ као и диференцијални dz у својим реалним и имагинарним компоненте:
⨍=u+iv
dz=dx+idy
У овом случају имамо :
∲γ ⨍(z)dz= ∲γ (u+iv)(dx+idy)= ∲γ (udx-vdy) + i ∲γ (vdx+udy)

По гриновој теорији, онда можемо заменити интеграле близу затврене структуре са интегралном области у домену D који је условљен γ, следи:
∲γ (u dx- v dy)= ∬D (-∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy
∲γ (u dx+ v dy)= ∬D (∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy

Међутим, с обзиром да су реални и имагинарни део аналитичке функције у домену D, u и v морају задовољити Коши-Риеман једначину, следи :
∂u/∂/x=∂v/∂y
∂u/∂y=-∂v/∂/x
Из овога закључујемо да су њихови интеграли једнаки нули :
∬D (-∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy= ∬D (∂u/∂/y - ∂u/∂y) dxdy=0
∬D (∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy= ∬D (∂v/∂/x - ∂u/∂x) dxdy=0
А то нам даје жељени реултат :

∮ ⨍(z) dz=0

• Cauchy's integral theorem, Encyclopedia of Mathematics
• Cauchy integral theorem, Weisstein Eric W, Math world}-