Ленард-Џоунсов потенцијал

Рачунарска физика
Нумеричка анализа · Рачунарска симулација Анализа података · Научна визуелизација
Потенцијали Морзеов/дугометни потенцијал · Ленард-Џонсов потенцијал · Јукава потенцијал · Морзеов потенцијал
Динамика флуида Метода коначних разлика · Метода коначних запремина Метода коначних елемената · Метод граничних елемената Метода Болцаманове решетке · Риманов решавалац Динамике честичне дисипације Хидродинамика глатких честица Моделинг турбуленције
Монте Карло метод Интеграција Монте Карло · Гибсово узорковање · Метрополис-Хастингс алгоритам
Честице Симулација Н-тела · Метод честичне ћелије Молекулска динамика
Научници Сергеј К. Годунов · Станислав Улам · Џон фон Нојман · Борис Галеркин · Едвард Нортон Лоренц
п р у

Ленард-Џоунсов потенцијал је један од физичкохемијских модела којим се описује зависност енергије узајамног деловања неутралних честица од њиховог међусобног растојања. Назван је по свом аутору Џону Ленард-Џоунсу.

Између неутралних честица (атома и молекула) делује сила која, зависно од њиховог међусобног растојања, може бити привлачна или одбојна. На великим растојањима сила је привлачна (ван дер Валсова сила или дисперзиона сила или Лондонова сила) а на малим сила је одбојна. Привлачна сила последица је покретљивости атомског и молекулског наелетрисања због чега неутралне честице могу једна у другој да индукују диполе који се међусобно привлаче. Потенцијална енергија у пољу привлачне силе је негативна. Међутим, на кратким растојањима када наелетрисања из различитих честица почну да се прекривају долази до одбијања честица. Потенцијал у пољу одбојне силе је позитиван. Ленард-Џоунсов потенцијал представља једноставан математички модел у којем је укупни потенцијал међуделовања приказан збиром потенцијала привлачне и одбојне силе. Џон Ленард-Џоунс са универзитета у Бристолу предложио је формулу 1931. године.^[1]

Ленард-Џоунсов потенцијал има два члана, позитивни којим се представља одбијање и негативни којим се представља привлачење међу неутралним честицама:

${\displaystyle V(r)=4\varepsilon {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}{\sigma \over r}\end{pmatrix}}^{12}-{\begin{pmatrix}{\sigma \over r}\end{pmatrix}}^{6}\end{bmatrix}}}$

Овде ${\displaystyle \varepsilon }$ представља дубину поенцијалне јаме а ${\displaystyle \sigma }$ је радијус честице представљене као чврста сфера. Дакле, члан ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{1 \over r}\end{pmatrix}}^{6}}$ означава одбојну силу а члан ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{1 \over r}\end{pmatrix}}^{12}}$ привлачну.

Минимум Ленард-Џоунсовог потенцијала постиже се када се деловања привлачне и одбојне силе узајамно пониште. Растојање при којем се то дешава називамо равнотежним:

${\displaystyle r_{0}=2^{1/6}\sigma }$.

Сила је негативни градијент потенцијала поља па из горњег израза налазимо зависност силе од растојања:

${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-\nabla V(r)=-{\frac {d}{dr}}V(r){\hat {\mathbf {r} }}=4\epsilon \left(12\,{\frac {{\sigma }^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac {{\sigma }^{6}}{{r}^{7}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}}$

Ленард-Џоунсов потенцијал је приближни потенцијал. Облик одбојног члана нема теоријског оправдања; одбојни члан би требало експоненцијално да пада са растојањем. Међутим зависност коју је педложио Ленард-Џоунс је згодна јер се лао израчунава (онд аније било рачунара) као квадрат привлачног члана, ${\displaystyle r^{6}}$. Привлачни потенцијал који има далеки домет изведен је из Лоноднове дисперзионе силе.

Ленард-Џоунсов потенцијал је релативно добра апроксимација и због једноставности често се користи за описивање гасова, и моделовање дисперзије и преклапања у молекулским моделима. Посебно је згодан за описивање атома инертних гасова а добра је апроксимација при великим и средњим растојањима код неутралних молекула. На цртежу је приказан потенцијал за димер аргона, у поређењу са емпиријским потенцијалом. Мало неслагање последица је нетачности у одбојном делу Ленард-Џоунсовог потенцијала.

Функција Ленард-Џоунсовог потенцијала често се изражава и као

${\displaystyle V(r)=\epsilon \left[\left({\frac {r_{min}}{r}}\right)^{12}-2\left({\frac {r_{min}}{r}}\right)^{6}\right]}$

где је

${\displaystyle \,r_{min}}$ = ${\displaystyle \,2^{1/6}\sigma }$ равнотежно растојање (растојање на минимуму потенцијала).

Често се користи и облик

${\displaystyle V(r)={\frac {A}{r^{12}}}-{\frac {B}{r^{6}}}}$

где је

${\displaystyle \,A=4\epsilon \sigma ^{12}}$

${\displaystyle \,B=4\epsilon \sigma ^{6}}$

${\displaystyle \sigma =\left({\frac {A}{B}}\right)^{\frac {1}{6}}}$

и

${\displaystyle \epsilon ={\frac {B^{2}}{4A}}}$.

• Морзеов потенцијал