Матрица ротације

Матрица ротације у линеарној алгебри представља матрицу ротација у Еуклидовом простору. Нпр. матрица ротације тачака за угао θ око исходишта (односно ротација координатног система за угао -θ око координатног почетка) у xy-картезијевом простору супротно кретању казаљке на сату дата је са:

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

Матрице ротације су ортогоналне матрице са детерминантом једнаком јединици.

${\displaystyle R^{T}=R^{-1},\det R=1\,}$.

Скуп таквих матрица димензије n чини специјалну ортогоналну групу, познату као SO(n).

У дводимензионалном простору вектор нових координата насталих ротацијом одговара множењу матрице ротације и вектора координата:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}}$.

На тај начин ротацијом добијају се нове координате (x',y') ротацијом тачке (x, y):

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta \,}$,

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta \,}$.

Три основне ротације око оси x, y и z дане су са:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}.\end{alignedat}}}$

Општа матрица ротације у тродимензионалном простору може да се добије множењем матрица ротације за три Ојлерова угла α, β и γ (y-x-z конвенција за Ојлерове углове):

${\displaystyle R_{z}(\gamma )\,R_{x}(\beta )\,R_{y}(\alpha )\,\!}$

У случају ротације за углове ${\displaystyle \;\gamma }$, ${\displaystyle \;\beta }$, ${\displaystyle \;\alpha }$ око оси Z, X, Z (Z, X, Z конвенција) добија се:

${\displaystyle M(\alpha ,\beta ,\gamma )=M_{z}(\alpha )\cdot M_{x}(\beta )\cdot M_{z}(\gamma )}$

${\displaystyle ={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{pmatrix}}}$

Скуп матрица ротације димензије n чини Лијеву групу звану специјална ортогонална група, познату као SO(n). Са сваком Лијевом групом повезана је Лијева алгебра, тако да у овом случају имамо Лијеву алгебру:

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n),\,\!}$

Лијева алгебра у тродимензионалном простору :${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),\,\!}$ има три генератора:

${\displaystyle A_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad A_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad A_{\mathbf {z} }={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Лијеве заграде тих оператора задовољавају следеће релације:

${\displaystyle [A_{\mathbf {x} },A_{\mathbf {y} }]=A_{\mathbf {z} },\quad [A_{\mathbf {z} },A_{\mathbf {x} }]=A_{\mathbf {y} },\quad [A_{\mathbf {y} },A_{\mathbf {z} }]=A_{\mathbf {x} }.}$

Произвољна матрица у Лијевој алгебри може да се опише помоћу три генератора као:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\boldsymbol {\omega }}}&{}=xA_{\mathbf {x} }+yA_{\mathbf {y} }+zA_{\mathbf {z} }\\&{}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

• Матрица ротације