Матрица (математика)

У математици, матрица је правоугаона табела бројева, или општије, табела која се састоји од апстрактних објеката који се могу сабирати и множити.^[1]

Матрице се користе да опишу линеарне једначине, да се прате коефицијенти линеарних трансформација, као и за чување података који зависе од два параметра. Матрице се могу сабирати, множити, и разлагати на разне начине, што их чини кључним концептом у линеарној алгебри и теорији матрица.

Дефиниције и нотације

Хоризонталне линије у матрици се називају врстама, а вертикалне колонама матрице.^[2]

Пресликавање $A:\{1,2,...,m\}\times \{1,2,...,n\}\rightarrow F$ , такво да је $(F,+,\cdot )$ поље и $m,n\in \mathbb {N}$ називамо матрицом типа $m\times n$ над пољем F.

Матрица са m врста и n колона се назива m-са-n матрицом (каже се и записује да је формата m×n) а m и n су димензије матрице.

Члан матрице A, који се налази у i-тој врсти и у j-тој колони се назива (i,j)-ти члан матрице A. Ово се записује као A_i,j или A[i,j]. Увек се прво назначује врста, па колона.

Често се пише $A:=(a_{i,j})_{m\times n}$ како би се дефинисала m × n матрица A чији се сваки члан, A[i,j] назива a_i,j за све 1 ≤ i ≤ m и 1 ≤ j ≤ n. Међутим, конвенција да i и j почињу од 1 није универзална: неки програмски језици започињу од нуле, у ком случају имамо 0 ≤ i ≤ m − 1 и 0 ≤ j ≤ n − 1.

Матрицу чија је једна од димензија једнака јединици често називамо вектором, и интерпретирамо је као елемент реалног координатног простора. 1 × n матрица (једна врста и n колона) се назива вектор врста, а m × 1 матрица (једна колона и m врста) се назива вектор колона.

Пример

Матрица

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}

је 4×3 матрица. Елемент A[2,3] или a_2,3 је 7.

Матрица

R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}

је 1×9 матрица, или вектор врста са 9 елемената.

Сабирање и множење матрица

Нека су дате матрице $A=[a_{i,j}]_{m\times n}$ и $B=[b_{i,j}]_{m\times n}$ .

Сабирање

Збир матрица А и В, у ознаци А+В је матрица $C=[c_{i,j}]_{m\times n}$ за коју важи $c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$ за свако $i=\{1,2,...,m\};j=\{1,2,...,n\}$ .

{\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}

Множење скаларом

Ако узмемо матрицу A и број c, скаларни производ cA се рачуна множењем скаларом c сваког елемента A (т. ј. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). На пример:

2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot (-3)\\2\cdot 4&2\cdot (-2)&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}

Операције сабирања и множења скаларом претварају скуп M(m, n, R) свих m-са-n матрица са реалним члановима у реални векторски простор димензије mn.

Међусобно множење матрица

Множење две матрице је добро дефинисано само ако је број колона леве матрице једнак броју врста десне матрице. Ако је A матрица димензија m-са-n, а B је матрица димензија n-са-p, тада је њихов производ AB матрица димензија m-са-p (m врста, p колона) дат формулом:

\,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]

за сваки пар i и j.

На пример:

{\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)&(1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\((-1)\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)&((-1)\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\\\end{bmatrix}}

={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}

Множење матрица има следећа својства:

(AB)C = A(BC) за све k-са-m матрице A, m-са-n матрице B и n-са-p матрице C (асоцијативност).
(A + B)C = AC + BC за све m-са-n матрице A и B и n-са-k матрице C (десна дистрибутивност).
C(A + B) = CA + CB за све m-са-n матрице A и B и k-са-m матрице C (лева дистрибутивност).

Ваља знати да комутативност не важи у општем случају; ако су дате матрице A и B, чак и ако су оба производа дефинисана, у општем случају је AB ≠ BA.

Посебно, скуп M(n, R) свих квадратних матрица реда n јесте реална асоцијативна алгебра са јединицом, која је некомутативна за n ≥ 2.

Линеарне трансформације, ранг, транспонована матрица

Матрице могу на згодан начин да представе линеарне трансформације јер множење матрица одговара слагању пресликавања, као што ће даље бити описано. Управо ово својство матрице чини моћном структуром података у вишим програмским језицима.

Овде и у наставку, посматрамо Rⁿ као скуп колона или n-са-1 матрица. За свако линеарно пресликавање f : Rⁿ → R^m постоји јединствена m-са-n матрица A, таква да f(x) = Ax за свако x у Rⁿ. Кажемо да матрица A представља линеарно пресликавање f. Ако k-са-m матрица B представља друго линеарно пресликавање g : R^m → R^k, тада је њихова композиција g o f такође линеарно пресликавање R^m → Rⁿ, и представљено је управо матрицом BA. Ово следи из горе поменуте асоцијативности множења матрица.

Општије, линеарно пресликавање из n-димензионог векторског простора у m-димензиони векторски простор је представљено m-са-n матрицом, ако су изабране базе за сваки.

Ранг матрице A је димензија слике линеарног пресликавања представљеног са A; она је иста као димензија простора генерисаног врстама A, и такође је исте димензије као простор генерисан колонама A.

Транспонована матрица, матрице m-са-n, A је n-са-m матрица A^tr (некад се записује и као A^T или ^tA), која настаје претварањем врста у колоне, и колона у врсте, то јест A^tr[i, j] = A[j, i] за свако i и j. Ако A представља линеарно пресликавање у односу на две базе, тада матрица A^tr представља линеарно пресликавање у односу на дуалне базе (види дуални простор).

Важи (A + B)^tr = A^tr + B^tr и (AB)^tr = B^tr A^tr.

Види још

Особине матрица

Посебне матрице

Референце

^ Мишић, Милан, ур. (2005). Енциклопедија Британика. Л-М. Београд: Политика : Народна књига. стр. 134. ISBN 86-331-2116-6.
^ Lang 2002

Литература

Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.
Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th изд.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger (1992), Ordinary differential equations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-54813-3
Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
Association for Computing Machinery (1979), Computer Graphics, Tata McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-059376-3
Baker, Andrew J. (2003), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3
Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
Bretscher, Otto (2005), Linear Algebra with Applications (3rd изд.), Prentice Hall
Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
Bronson, Richard (1989), Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-007978-6
Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
Coburn, Nathaniel (1955), Vector and tensor analysis, New York, NY: Macmillan, OCLC 1029828
Conrey, J. Brian (2007), Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69964-8
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1983), Game Theory, MIT Press
Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order (2nd изд.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4
Godsil, Chris; Royle, Gordon (2004), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95220-8
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd изд.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9
Greub, Werner Hildbert (1975), Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90110-7
Halmos, Paul Richard (1982), A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 (2nd изд.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0, MR 675952
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
Householder, Alston S. (1975), The theory of matrices in numerical analysis, New York, NY: Dover Publications, MR 0378371
Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd изд.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8 .
Krzanowski, Wojtek J. (1988), Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, 3, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852211-9, MR 969370
Itô, Kiyosi, ур. (1987), Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV (2nd изд.), MIT Press, ISBN 978-0-262-09026-1, MR 901762
Lang, Serge (1969), Analysis II, Addison-Wesley
Lang, Serge (1987a), Calculus of several variables (3rd изд.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96405-8
Lang, Serge (1987b), Linear algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third изд.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan (1999), Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling (1st изд.), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-425-8
Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich (1999), Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, ISBN 978-0-262-13360-9
Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. (1978), Stochastic processes, New York, NY: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-096612-3
Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd изд.), New York: Wiley, LCCN 76-91646
Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006), Numerical Optimization (2nd изд.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, стр. 449, ISBN 978-0-387-30303-1
Oualline, Steve (2003), Practical C++ programming, O'Reilly, ISBN 978-0-596-00419-4
Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1992), „LU Decomposition and Its Applications” (PDF), Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (2nd изд.), Cambridge University Press, стр. 34—42, Архивирано из оригинала 2009-09-06. г.
Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042
Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory (2002), The traveling salesman problem and its variations, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-0664-7
Reichl, Linda E. (2004), The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98788-0
Rowen, Louis Halle (2008), Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4153-2
Šolin, Pavel (2005), Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-76409-0
Stinson, Douglas R. (2005), Cryptography, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-508-5
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd изд.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3
Ward, J. P. (1997), Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, 403, Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-4513-8, MR 1458894, doi:10.1007/978-94-011-5768-1
Wolfram, Stephen (2003), The Mathematica Book (5th изд.), Champaign, IL: Wolfram Media, ISBN 978-1-57955-022-6
Bohm, Arno (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, ISBN 0-387-95330-2
Burgess, Cliff; Moore, Guy (2007), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86036-9
Guenther, Robert D. (1990), Modern Optics, John Wiley, ISBN 0-471-60538-7
Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980), Quantum Field Theory, McGraw–Hill, ISBN 0-07-032071-3
Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (1997), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X
Schiff, Leonard I. (1968), Quantum Mechanics (3rd изд.), McGraw–Hill
Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7
Wherrett, Brian S. (1987), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice–Hall International, ISBN 0-13-365461-3
Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (2006), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4530-1
A. Cayley A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
Bôcher, Maxime (2004), Introduction to higher algebra, New York, NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49570-5 , reprint of the 1907 original edition
Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, I (1841–1853), Cambridge University Press, стр. 123—126
Dieudonné, Jean, ур. (1978), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900, Paris, FR: Hermann
Hawkins, Thomas (1975), „Cauchy and the spectral theory of matrices”, Historia Mathematica, 2: 1—29, ISSN 0315-0860, MR 0469635, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4 
Knobloch, Eberhard (1994), „From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations”, The intersection of history and mathematics, Science Networks Historical Studies, 15, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, стр. 51—66, MR 1308079
Kronecker, Leopold (1897), Hensel, Kurt, ур., Leopold Kronecker's Werke, Teubner
Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (1987), The Historical Development of Quantum Theory (1st изд.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96284-9
Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (1999), Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd изд.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853936-0
Weierstrass, Karl (1915), Collected works, 3
Hazewinkel, Michiel, ур. (2001) [1994], „Matrix”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Kaw, Autar K. (септембар 2008), Introduction to Matrix Algebra, ISBN 978-0-615-25126-4
The Matrix Cookbook (PDF), Приступљено 24. 3. 2014
Brookes, Mike (2005), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, Приступљено 10. 12. 2008