Ојлерова карактеристика

У математици, а тачније у алгебарској топологији и полиедарској комбинаторици, Ојлерова карактеристика (у појединим гранама математике понекад реферисана и само као карактеристика или Ојлеров број — не треба мешати са Ојлеровом константом, на коју се, такође, често реферише као на Ојлеров број) је инваријантна вредност која зависи од тополошког облика и особина објекта који описује. Најчешће се обележава малим грчким словом χ (хи). Назив захваљује Леонарду Ојлеру, познатом швајцарском математичару и физичару.

Оригинално се употребљавала у геометрији за описивање полиедара, али је своју примену пронашла у топологији и касније у теорији графова. То је наведено за платонска тела 1537. године у необјављеном рукопису Франческа Мауролика.^[1] Леонард Ојлер, по коме је концепт добио име, увео га је генерално за конвексне полиедре, али није успео да ригорозно докаже да је он инваријанта. У савременој математици, Ојлерова карактеристика произилази из хомологије и, апстрактније, хомолошке алгебре.^[2]^[3]^[4]^[5]

Ојлерова карактеристика у геометрији и топологији

Ојлерова карактеристика геометријске фигуре у геометрији означава суму $\chi =T-I+P$ , где је T број темена фигуре, I број ивица а P број пљосни дате фигуре. Управо овај идентитет^[6] је први доказао Ојлер.

Јасно, сваки троугао има карактеристику 1 (3 темена, 3 ивице и једна пљосан). Одавде следи да и свака раванска фигура има Ојлерову карактеристику 1 (свака фигура у равни се може триангулисати^[7], тј. разложити на више мањих троуглова — сада се спајањем два троугла по заједничкој ивици карактеристика не мења, јер се број темена повећава за 1, број ивица за 2, а број пљосни за 1). Како се и сваки полиедар може разложити на ланац повезаних полиедара, то је карактеристика целог полиедра управо 2 (настављањем полиедара један на други се карактеристика не мења, слично као малопре, али се при додавању „последњег” полиедра број ивица и темена не мења, а добија се додатна пљосан).^[8] Уопштено, за правилан полиедар са n „рупа” важи да му је карактеристика 2(1-n) (нпр. торус је карактеристике 0). Испод је дата табела неких конвексних и неких неконвексних тродимензионалних геометријских фигура са својим карактеристикама.

Назив	Конвексност	Број темена (T)	Број ивица (I)	Број пљосни (P)	Карактеристика
Тетраедар	конвексан	4	6	6	2
Хексаедар (коцка)	конвексан	8	12	6	2
Октаедар	конвексан	6	12	8	2
Додекаедар	конвексан	20	30	12	2
Икосаедар	конвексан	12	30	20	2
Тетрахемихексаедар	конкаван	6	12	7	1
Октахемиоктаедар	конкаван	12	24	12	0
Мали звездасти додекаедар	конкаван	12	30	12	-6
Велики звездасти додекаедар	конкаван	20	30	12	2

Слично као у геометрији се дефинише Ојлерова карактеристика и у топологији. Испод се налази табела са неким тополошким облицима са својим карактеристикама.

Назив	Конвексност	Карактеристика
Сфера	конвексан	2
Торус	конкаван	0
Дупли (дворупи) торус	конкаван	-2
Трорупи торус	конкаван	-4

Ојлерова карактеристика у теорији графова

Ојлерова карактеристика планарног графа G у теорији графова је резултат $\chi =|V(G)|-|E(G)|+f(G')$ , где је V(G) скуп чворова графа G, E(G) скуп грана графа G, а f(G’) број области на које планарно утапање G’ графа G раздељује раван $ℝ \times ℝ$ својим гранама и чворовима.

Може се показати да сви планарни графови имају Ојлерову карактеристику 2 (у теорији графова је ово тврђење познато као Ојлерова теорема^[9]). У општем случају ће важити, за произвољан граф G, $\chi =|V(G)|-|E(G)|+f(G')=1+\omega (G)$ , где је ω(G) број компоненти повезаности графа G.

Испод је дата табела са неколико графова и њиховим карактеристикама.

Број чворова G (\|V(G)\|)	Број грана G (\|E(G)\|)	Број области G (f(G'))	Број компоненти повезаности G (ω(G))	Карактеристика G	Напомена
6	6	2	1	2
12	18	8	1	2	Иако се граф на први поглед не чини планарним, ипак јесте (могуће је „извући” поједине гране у „спољашњост” како се не би секле са осталима).
21	27	10	3	4

Види још

Референце

^ Friedman, Michael (2018). A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins. Science Networks. Historical Studies. 59. Birkhäuser. стр. 71. ISBN 978-3-319-72486-7. doi:10.1007/978-3-319-72487-4.
^ Cartan, Henri Paul; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. Princeton mathematical series. 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779. OCLC 529171.
^ Eilenberg, Samuel; Moore, J.C. (1965). Foundations of relative homological algebra. Memoirs of the American Mathematical Society number. 55. American Mathematical Society. ISBN 9780821812556. OCLC 1361982.
^ Pellikka, M; S. Suuriniemi; L. Kettunen; C. Geuzaine (2013). „Homology and Cohomology Computation in Finite Element Modeling” (PDF). SIAM J. Sci. Comput. 35 (5): B1195—B1214. Bibcode:2013SJSC...35B1195P. CiteSeerX 10.1.1.716.3210 . doi:10.1137/130906556.
^ Arnold, Douglas N.; Richard S. Falk; Ragnar Winther (16. 5. 2006). „Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications”. Acta Numerica. 15: 1—155. Bibcode:2006AcNum..15....1A. S2CID 122763537. doi:10.1017/S0962492906210018.
^ „Euler's Formula”. Encyclopaedia Britannica.
^ „Computational Geometry” (PDF).
^ „Euler's Characteristic in Algebraic Topolgy”. San José State University. Архивирано из оригинала 25. 02. 2020. г. Приступљено 12. 02. 2020.
^ „Euler's Formula”.

Литература

Richeson, David S. (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press. .
Flegg, H. Graham; From Geometry to Topology, Dover 2001, p. 40.
Bott, Raoul and Tu, Loring W. (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.
Bredon, Glen E. (1993). Topology and Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). Characteristic Classes. Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0.
Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55432-9, MR 1458063 .
Grünbaum, Branko (1994), „Polyhedra with hollow faces”, Ур.: Bisztriczky, Tibor; Schneider, Peter McMullen;Rolf; Weiss, A., Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., стр. 43—70, ISBN 978-94-010-4398-4, MR 1322057, doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3 .
Grünbaum, Branko (2003), „Are your polyhedra the same as my polyhedra?” (PDF), Ур.: Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha, Discrete and Computational Geometry. Algorithms and Combinatorics (PDF), 25, Berlin: Springer, стр. 461—488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21, Архивирано из оригинала (PDF) 03. 08. 2016. г., Приступљено 12. 02. 2020 .
Richeson, David S. (2008), Euler's Gem: The polyhedron formula and the birth of topology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12677-7, MR 2440945
Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homological algebra. ISBN 0-691-04991-2. . With an appendix by David A. Buchsbaum. Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp.
Grothendieck, Alexander (1957). „Sur quelques points d'algèbre homologique, I”. Tohoku Mathematical Journal. 9 (2): 119—221. doi:10.2748/tmj/1178244839.
Saunders Mac Lane. Homology. ISBN 3-540-58662-8. . Reprint of the 1975 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995. x+422 pp.
Peter Hilton; Stammbach, U. A course in homological algebra. ISBN 0-387-94823-6. . Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii+364 pp.
Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin. Methods of homological algebra. ISBN 3-540-43583-2. . Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp.
Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin. Homological algebra. Translated from the 1989 Russian original by the authors. Reprint of the original English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences (Algebra. ISBN 3-540-65378-3. , V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp.
Lang, Serge (21. 6. 2005). Algebra (3rd изд.). Springer. стр. 157. ISBN 978-0-387-95385-4. . Springer 2002, , pp. 157–159
M. F. Atiyah; I. G. Macdonald (1969). Introduction to Commutative Algebra. Oxford: Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
Goerss, P. G.; Jardine, J. F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1
Hovey, Mark (1999), Model categories, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1359-1
Quillen, Daniel (1967), Homotopical Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-03914-5
R.L. Taylor (1954). „Covering groups of non connected topological groups”. Proceedings of the American Mathematical Society. 5 (5): 753—768. doi:10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0. .
R. Brown and O (1994). „Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 115: 97—110. doi:10.1017/S0305004100071942. .
R. Brown and T. Porter, On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations, Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 96A (1996), 213–227.
G. Janelidze and G. M. Kelly (2000). „Central extensions in Malt'sev varieties”. Theory and Applications of Categories. 7: 219—226. .
P. J. Morandi, Group Extensions and H³. From his collection of short mathematical notes.
Buchsbaum, David A. (1955), „Exact categories and duality”, Transactions of the American Mathematical Society, 80 (1): 1—34, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993003, MR 0074407, doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6
Freyd, Peter (1964), Abelian Categories, New York: Harper and Row
Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories, Boston, MA: Academic Press
Popescu, Nicolae (1973), Abelian categories with applications to rings and modules, Boston, MA: Academic Press
Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3
Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
Cox, David (2004). Galois Theory. Wiley-Interscience. ISBN 9781118031339. MR 2119052.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (2nd изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
Rose, John S. (2012). A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8. Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90244-9, MR 0463157
May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology (PDF), University of Chicago Press, ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278
Switzer, Robert (1975), Algebraic Topology — Homology and Homotopy, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42750-3, MR 0385836
Thom, René (1954), „Quelques propriétés globales des variétés différentiables”, Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17—86, MR 0061823, S2CID 120243638, doi:10.1007/BF02566923 ^{[мртва веза]}