Ојлеров идентитет

Ојлеров идентитет^{[n 1]} је у математици назив за формулу:

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos {\varphi }+\mathrm {i} \sin {\varphi }}$

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број ${\displaystyle \mathrm {e} \,}$ је Ојлеров број (база природног логаритма), ${\displaystyle \mathrm {i} \,}$ имагинара јединица комплексних бројева, а ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$ угао.^[3][4][5]

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$, једначина важи и за ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {C} }$.

За угао ${\displaystyle \varphi =\pi \,}$ добија се идентитет

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1\,}$

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета^[6][7]

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,}$

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве ${\displaystyle \mathrm {i} }$, ${\displaystyle \pi \,}$, ${\displaystyle \mathrm {e} \,}$, 1, и 0 (нула), основне математичке радње, сабирање, множење и степеновање, и најважнију релацију =, и ништа више.^[8][9][10]

Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y\,}$ прво дефинисала експоненцијална функција:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x+\mathrm {i} y}:=\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)\,}$

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Посматрамо функцију:

${\displaystyle f(x)={\frac {\cos(x)+\mathrm {i} \cdot \sin(x)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}}$

Именилац никада није нула, јер важи:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\mathrm {e} ^{0}=1}$

Ојлеров идентитет тврди да је ${\displaystyle f(x)=1\,}$ за све вредности ${\displaystyle x\,}$.

Прво доказујемо да је функција ${\displaystyle f(x)\,}$ константна, односно да је њен извод ${\displaystyle f'(x)=0\,}$ за све ${\displaystyle x\,}$:

Знамо да је извод од ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,}$:

${\displaystyle \left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\right]'=\mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$

Следи:

${\displaystyle f'(x)\,}$	${\displaystyle ={\frac {(-\sin x+\mathrm {i} \cdot \cos x)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-(\cos x+\mathrm {i} \cdot \sin x)\cdot \mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}}$
	${\displaystyle ={\frac {-\sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} ^{2}\cdot \sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}}$
	${\displaystyle =0\,}$

${\displaystyle f'(x)=0\,}$ значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то ${\displaystyle 0\,}$:

${\displaystyle f(0)={\frac {\cos(0)+\mathrm {i} \cdot \sin(0)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 0}}}={\frac {1+0}{\mathrm {e} ^{0}}}={\frac {1}{1}}=1}$

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга метода се користи редовима за ${\displaystyle \cos \,}$, ${\displaystyle \sin \,}$ и ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}\,}$. Знамо да ове три функције можемо написати као:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{k=0}^{2N+1}{\frac {x^{k}}{k!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \cos(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty }$

Из тога следи да ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,}$ можемо поделити:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\sum _{l=0}^{2N+1}{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{l}}{l!}}=\sum _{m=0}^{N}(-1)^{m}{\frac {\varphi ^{2m}}{(2m)!}}+\mathrm {i} \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}{\frac {\varphi ^{2m+1}}{(2m+1)!}}}$

За ${\displaystyle N\rightarrow \infty \,}$ добијамо ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )}$, што је наш тражени резултат.

Ојлеров идентитет се често наводи као пример дубоке математичке лепоте.^[11] Три основне аритметичке операције се дешавају тачно једном: сабирање, множење и степеновање. Идентитет такође повезује пет основних математичких константи:^[12]

• Број 0, адитивни идентитет.
• Број 1, мултипликативни идентитет.^[13][14][15]
• Број π (π = 3.1415...), основна константа круга.
• Број e (e = 2.718...), познат и као Ојлеров број, који се широко јавља у математичкој анализи.
• Број i, имагинарна јединица комплексних бројева.

Даље, једначина је дата у облику скупа израза једнаког нули, што је уобичајена пракса у неколико области математике.

Професор математике на Универзитету Стенфорд Кит Девлин је рекао: „попут Шекспировог сонета који хвата саму суштину љубави, или слике која открива лепоту људског облика који је много више од површности, Ојлерова једначина сеже у саму дубине постојања“.^[16] Пол Нахин, професор емеритус на Универзитету у Њу Хемпширу, који је написао књигу посвећену Ојлеровој формули и њеној примени у Фуријеовој анализи, описује Ојлеров идентитет као устројство „изузетне лепоте“.^[17]

Писац математике Констанс Рид изнела је мишљење да је Ојлеров идентитет „најпознатија формула у целој математици“.^[18] Бенџамин Пирс, амерички филозоф, математичар и професор на Универзитету Харвард из 19. века, након што је доказао Ојлеров идентитет током предавања, изјавио је да је идентитет „апсолутно парадоксалан; не можемо да га разумемо, и не знамо шта значи, али ми смо то доказали и стога знамо да то мора бити истина“.^[19]

Анкета читалаца коју је спровео часопис The Mathematical Intelligencer 1990. године назвала је Ојлеров идентитет „најлепшом теоремом у математици“.^[20] У другој анкети читалаца коју је спровео часопис Physics World 2004. године, Ојлеров идентитет је повезан са Максвеловим једначинама (електромагнетизма) као „највећа једначина икада“.^[21]

Најмање три књиге популарне математике су објављене о Ојлеровом идентитету:

• Невероватна формула др Ојлера: Лечи многе математичке болести, Пол Нахин (2011)^[22]
• Најелегантнија једначина: Ојлерова формула и лепота математике, Дејвид Стип (2017)^[23]
• Ојлерова пионирска једначина: Најлепша теорема у математици, Робин Вилсон (2018).^[24]

Ојлеров идентитет на Викимедијиној остави.

• Complete derivation of Euler's identity
• Intuitive understanding of Euler's formula
• Weisstein, Eric W. "Euler Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.