Периодичност функције

Овај чланак се у великој мери или у потпуности ослања на један извор. Помозите у његовом побољшавању додавањем референци ка поузадним изворима. Садржај непоткрепљен изворима може бити доведен у питање, а потом и уклоњен. Претражи Google: "Периодичност функције" (вести · новине · књиге · академик · бесплатне слике) · JSTOR Претражи Google: "Periodičnost funkcije" (вести · новине · књиге · академик · бесплатне слике) · JSTOR (јул 2019)

У математици, периодична функција је функција која понавља своје вредности у правилним интервалима или периодима. Најважнији примери су тригонометријске функције, које се понављају у интервалима од 2π радијана. Периодичне функције се користе у науци за описивање осцилација, таласа и других појава које показују периодичност. Свака функција која није периодична назива се апериодна.

За функцију реалне променљиве ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ кажемо да је периодична са периодом ${\displaystyle T}$, ако постоји ${\displaystyle T>0}$ такво да важи:

${\displaystyle f(x+T)=f(x).}$

Најмањи такав број ${\displaystyle T}$ (ако постоји), назива се основни период функције ${\displaystyle f}$.

Синусна и косинусна функција, синусоида и косинусоида, обе су периодичне функције и то обе са периодом ${\displaystyle 2\pi }$.

Функција "цео део" је периодична са периодом 1.

Једна од интересантних периодичних функција је, рецимо, Дирихлеова функција ${\displaystyle D\colon \mathbb {R} \mapsto \{0,1\}}$ дефинисана као:

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} ,\end{cases}}}$

која је периодична, али нема најмањи период.

Модификована Дирихлеова функција, која задржава њене карактеристичне особине, али је графички занимљивија, је Томаова функција.

Томаова функција ${\displaystyle D\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} }$ се дефинише као:

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}}$

• Функција
• Синусоида
• Косинусоида
• Функција "цео део"
• Дирихлеова функција
• Томаова функција

Можда ће те интересовати и неке друге особине функција:

• Парност
• Монотоност

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.