Подгрупа (математика)

Подгрупа групе ${\displaystyle G}$ је непразан скуп ${\displaystyle H}$ који је сам група у односу на бинарну операцију * дефинисану у групи. Другим речима, ${\displaystyle H}$ је подгрупа ${\displaystyle G}$ ако је рестрикција * на ${\displaystyle H}$ операција групе на ${\displaystyle H}$. Ознака подгрупе ${\displaystyle H}$ групе ${\displaystyle G}$ је ${\displaystyle H<G}$.

Дефинисана преко хомоморфизма, ${\displaystyle H}$ је подгрупа групе ${\displaystyle G}$ ако и само ако је ${\displaystyle H}$ подскуп од ${\displaystyle G}$ и постоји инклузиони хомоморфизам из ${\displaystyle H}$ у ${\displaystyle G}$, односно ${\displaystyle i(a)=a}$ за свако ${\displaystyle a}$.

Права погрупа групе ${\displaystyle G}$ је подгрупа ${\displaystyle H}$, која је прави подскуп од ${\displaystyle G}$ (т. ј. ${\displaystyle H\neq G}$). Тривијална подгрупа било које групе је подгрупа ${\displaystyle \left\{e\right\}}$ која се састоји само од неутрала. Ако је ${\displaystyle H}$ подгрупа од ${\displaystyle G}$, понекад се каже да је ${\displaystyle G}$ надгрупа ${\displaystyle H}$.

Теорема:

• Непразан подскуп ${\displaystyle H}$ скупа ${\displaystyle G}$ је подгрупа ${\displaystyle H}$ групе ${\displaystyle G}$ ако и само ако је ${\displaystyle H}$ затворена у односу на множење и инвертовање елемената. Затвореност за производе и инверзе подразумева да кад год су ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ унутар ${\displaystyle H}$, тада је и ${\displaystyle ab}$ и ${\displaystyle a^{-1}}$ су такође унутар ${\displaystyle H}$. Ова два услова могу да се споје у један еквивалентан услов: кад год су ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ унутар ${\displaystyle H}$, тада је и ${\displaystyle ab^{-1}}$ унутар ${\displaystyle H}$
• Непразан подскуп ${\displaystyle H}$ скупа ${\displaystyle G}$ је подгрупа ${\displaystyle H}$ групе ${\displaystyle G}$ ако и само ако за свака два елемента ${\displaystyle h,h'}$ из ${\displaystyle H}$, и елемент ${\displaystyle h^{-1}h'}$ припада ${\displaystyle H}$.
• Непразан подскуп ${\displaystyle H}$ коначног скупа ${\displaystyle G}$ је подгрупа ${\displaystyle H}$ групе ${\displaystyle G}$ ако и само ако је скуп ${\displaystyle H}$ затворен у односу на множење. У овом случају, сваки елемент ${\displaystyle a}$ из ${\displaystyle H}$ генерише коначну цикличну подгрупу од ${\displaystyle H}$, и инверз ${\displaystyle a}$ је тада ${\displaystyle a^{-1}=a^{n-1}}$, где је ${\displaystyle n}$ ред ${\displaystyle a}$.^[1]

• Неутрал подгрупе је неутрал групе: ако је ${\displaystyle G}$ група са неутралом ${\displaystyle e_{G}}$, и ${\displaystyle H}$ је подгрупа ${\displaystyle G}$ са неутралом ${\displaystyle e_{H}}$, тада је ${\displaystyle e_{H}=e_{G}}$.
• Инверз елемента подгрупе је инверз елемента групе: ако је ${\displaystyle H}$ подгрупа ${\displaystyle G}$, и ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ су елементи ${\displaystyle H}$, такви да ${\displaystyle ab=ba=e_{H}}$, тада ${\displaystyle ab=ba=e_{G}}$.
• Пресек подгрупа ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ групе ${\displaystyle G}$ је такође подгрупа. Унија ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ је подгрупа ако и само ако или ${\displaystyle A}$ садржи ${\displaystyle B}$ или обратно, јер на пример 2 и 3 су у унији ${\displaystyle 2Z}$ и ${\displaystyle 3Z}$ али њихова сума 5 није.
• Ако је ${\displaystyle S}$ подскуп ${\displaystyle G}$, тада постоји најмања подгрупа која садржи ${\displaystyle S}$, која се може наћи узимањем пресека свих подгрупа које садрже ${\displaystyle S}$; ово се означава као ${\displaystyle <S>}$ и назива се подгрупом генерисаном ${\displaystyle S}$-ом. Елемент ${\displaystyle G}$ је унутар ${\displaystyle <S>}$ ако и само ако је коначан производ елемената ${\displaystyle S}$ и њихових инверза.
• Сваки елемент ${\displaystyle a}$ групе ${\displaystyle G}$ одређује (генерише) цикличну подгрупу ${\displaystyle <a>}$. Ако је ${\displaystyle <a>}$ изоморфно са ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ за неки позитиван цео број ${\displaystyle n}$, онда је ${\displaystyle n}$ најмањи позитиван цео број за који ${\displaystyle a^{n}=e}$, и ${\displaystyle n}$ се назива редом ${\displaystyle a}$. Ако је ${\displaystyle <a>}$ изоморфно са ${\displaystyle Z}$, тада се каже да је ${\displaystyle a}$ бесконачног реда.

Нека је ${\displaystyle G}$ Абелова група чији су елементи

${\displaystyle G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}}$

и чија је операција групе сабирање по модулу осам. Њена Кејлијева табела је

Ова група има пар нетривијалних подгрупа: ${\displaystyle J=\{0,4\}}$ и ${\displaystyle H=\{0,2,4,6\}}$, где је ${\displaystyle J}$ такође подгрупа од ${\displaystyle H}$. Кајлијева табела за ${\displaystyle H}$ је горњи леви квадрант Кајлијеве табеле за ${\displaystyle G}$. Група ${\displaystyle G}$ је циклична, па су и њене подгрупе цикличне. Уопштено, подгрупе цикличних група су цикличне..

Ако је дата подгрупа ${\displaystyle H}$ и неко ${\displaystyle a}$ из ${\displaystyle G}$, дефинишемо леви косет ${\displaystyle aH=\{ah:h\in H\}}$. Како је ${\displaystyle a}$ инверзибилно, пресликавање ${\displaystyle \varphi :H\rightarrow aH}$ дефинисано као ${\displaystyle \varphi (h)=ah}$ је бијекција. Штавише, сваки елемент из ${\displaystyle G}$ се налази у тачно једном левом косету од ${\displaystyle H}$; леви косети су класе еквиваленције у односу на релацију еквиваленције ${\displaystyle a_{1}\sim a_{2}}$ ако и само ако је ${\displaystyle a_{1}^{-1}a_{2}}$ у ${\displaystyle H}$. Број левих косета ${\displaystyle H}$ се назива индексом ${\displaystyle H}$ у ${\displaystyle G}$, и означава се са ${\displaystyle [G:H]}$.

Лагранжова теорема гласи да за коначну групу ${\displaystyle G}$ и њену подгрупу ${\displaystyle H}$,

$${\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}$$

где ${\displaystyle {\textrm {red}}(G)}$ и ${\displaystyle {\textrm {red}}(H)}$ означавају редове ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$. Ред сваке подгрупе ${\displaystyle G}$ (и ред сваког елемента ${\displaystyle G}$) обавезно дели ${\displaystyle {\textrm {red}}(G)}$.

Десни косети су дефинисани аналогно: ${\displaystyle Ha=\{ha:h\in H\}}$. Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак ${\displaystyle [G:H]}$.

Ако је ${\displaystyle aH=Ha}$ за свако ${\displaystyle a}$ из ${\displaystyle G}$, тада се каже да је ${\displaystyle H}$ нормална подгрупа. Свака подгрупа индекса 2 је нормална: леви и десни косети су једноставно подгрупа и њен комплемент.

• Група (математика)
• Лагранжова теорема