Растојање

Растојање је бројно мерење удаљености објеката.^[1] У физици или свакодневној употреби, растојање се може односити на физичку дужину или процену засновану на другим критеријима (нпр. „две жупаније”). У већини случајева, „растојање између А и Б” је заменљиво са „растојањем између Б и А”. У математици, функција растојања или метрика је генерализација концепта физичког растојања. Метрика је функција која се понаша у складу са одређеним скупом правила и представља начин описивања шта то значи за елементе неког простора да буду „близу” или „далеко” један од другог.^[2]

Пређени пут

Пређени пут (енгл. distance travelled; SI ознака — ${\boldsymbol {s}}$ ) јест једнак интензитету (апсолутној вредности) векторa помераја:

{\boldsymbol {s}}=\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}\,\right\vert =\left|{\boldsymbol {\vec {r}}}_{2}-{\boldsymbol {\vec {r}}}_{1}\right\vert ,

односно:

{\boldsymbol {s}}_{\Delta t}=\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}_{\Delta t}\right\vert =\left|{\boldsymbol {\vec {r}}}_{t_{2}}-{\boldsymbol {\vec {r}}}_{t_{1}}\right\vert ,

где је ${\boldsymbol {\vec {r}}}_{t_{2}}$ вектор положаја у тренутку $t_{2}$ и ${\boldsymbol {\vec {r}}}_{t_{1}}$ вектор положаја у тренутку $t_{1}$ .

Укупни пређени пут је једнак збиру интензитета појединих вектора помераја:

{\boldsymbol {s}}_{u}={\boldsymbol {s}}_{\Delta t_{1}+\Delta t_{2}+\Delta t_{3}+\,\cdots \,+\Delta t_{n}}=\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}_{\Delta t_{1}}\right\vert +\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}_{\Delta t_{2}}\right\vert +\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}_{\Delta t_{3}}\right\vert +\cdots +\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}_{\Delta t_{n}}\right\vert .

Пређени пут је скаларна величина.

Преглед и дефиниције

Физичке удаљености

Физичка удаљеност може значити неколико различитих ствари:

Пређено растојање: дужина одређене путање пређене између две тачке,^[3] као што је пређена удаљеност током навигације лавиринтом
Праволинијско (еуклидско) растојање: дужина најкраће могуће путање кроз простор, између две тачке, која би се могла прећи да нема препрека (обично формализована као Еуклидска удаљеност)
Геодетска удаљеност: Дужина најкраће путање између две тачке док се остаје на некој површини, као што је растојање великог круга дуж кривине Земље
Дужина одређене путање која се враћа на почетну тачку, као што је лопта бачена право нагоре или Земља када заврши једну орбиту.

„Кружно растојање“ је раздаљина коју пређе точак, што може бити корисно при пројектовању возила или механичких зупчаника. Обим точка је 2π × полупречник, а под претпоставком да је полупречник 1, тада је сваки обрт точка еквивалентан растојању од 2π радијана. У инжењерству се често користи ω = 2πƒ, где је ƒ фреквенција.

Неуобичајене дефиниције удаљености могу бити од помоћи за моделирање одређених физичких ситуација, али се такође користе у теоријској математици:

„Раздаљина Менхетна“ је праволинијска раздаљина, названа по броју блокова (у правцу севера, југа, истока или запада) којима такси мора да путује да би стигао до свог одредишта на мрежи улица у деловима Њујорка.
„Раздаљина шаховске табле“, формализована као Чебишевљева удаљеност, је минимални број потеза који краљ мора да направи на шаховској табли, да би путовао између два поља.

Мере удаљености у космологији су компликоване ширењем универзума и ефектима описаним у теорији релативности (као што је контракција дужине покретних објеката).

Теоријске удаљености

Термин „удаљеност“ се такође користи аналогно за мерење нефизичких ентитета на одређене начине.

У информатици постоји појам „дистанце измене” између два низа. На пример, енглеске речи „dog” и „dot”, које се разликују само у једном слову, ближе су од „dog” и „cat”, које се разликују за три слова. Ова идеја се користи у провери правописа и у теорији кодирања, и математички је формализована на неколико различитих начина, као што су:

У математици, метрички простор је скуп за који су дефинисана растојања између свих чланова скупа. На овај начин се може израчунати много различитих типова „удаљености“, као што су обилажење графова, поређење дистрибуција и кривих, и коришћење необичних дефиниција „простора“ (на пример коришћењем многострукости или рефлексија). Појам удаљености у теорији графова коришћен је за описивање друштвених мрежа, на пример са Ердешовим бројем или Бејконовим бројем — број колаборативних односа удаљених од особе потиче од плодног математичара Пола Ердоса и глумца Кевина Бејкона.

У психологији, људској географији и друштвеним наукама, удаљеност се често теоретизира не као објективна метрика, већ као субјективно искуство.^[4]

Види још

Референце

^ „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (на језику: енглески). 2020-03-01. Приступљено 2020-09-01.
^ Deza, E.; Deza, M. (2006), Dictionary of Distances, Elsevier, ISBN 978-0-444-52087-6
^ „What is displacement? (article)”. Khan Academy (на језику: енглески). Приступљено 2020-07-20.
^ „SOCIAL DISTANCES”. www.hawaii.edu. Приступљено 2020-07-20.

Литература

Deza E, Deza M (2006). Dictionary of Distances. Elsevier. ISBN 0-444-52087-2.
Aldrovandi, Ruben; Pereira, José Geraldo (2017), An Introduction to Geometrical Physics (2nd изд.), Hackensack, New Jersey: World Scientific, стр. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, MR 3561561
Arkhangel'skii, A. V.; Pontryagin, L. S. (1990), General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer, ISBN 3-540-18178-4
Buldygin, V. V.; Kozachenko, Yu. V. (2000), Metric Characterization of Random Variables and Random Orocesses, Translations of Mathematical Monographs, 188, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 129, ISBN 0-8218-0533-9, MR 1743716, doi:10.1090/mmono/188
Čech, Eduard (1969), Point Sets, New York: Academic Press, стр. 42
Cecil, Thomas E. (2008), Lie Sphere Geometry: With Applications to Submanifolds, Universitext (2nd изд.), New York: Springer, стр. 9, ISBN 978-0-387-74655-5, MR 2361414
Cohen, Andrew R.; Vitányi, Paul M. B. (2012), „Normalized compression distance of multisets with applications”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37 (8): 1602—1614, PMC 4566858 , PMID 26352998, arXiv:1212.5711 , doi:10.1109/TPAMI.2014.2375175
Deza, Michel Marie; Laurent, Monique (1997), Geometry of Cuts and Metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, стр. 27, ISBN 3-540-61611-X, MR 1460488, doi:10.1007/978-3-642-04295-9
Fraigniaud, P.; Lebhar, E.; Viennot, L. (2008), „The inframetric model for the internet”, 2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications, стр. 1085—1093, CiteSeerX 10.1.1.113.6748 , ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID 5733968, doi:10.1109/INFOCOM.2008.163
Helemskii, A. Ya. (2006), Lectures and Exercises on Functional Analysis, Translations of Mathematical Monographs, 233, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 14, ISBN 978-0-8218-4098-6, MR 2248303, doi:10.1090/mmono/233
Lawvere, F. William (2002), „Metric spaces, generalized logic, and closed categories” (PDF), Reprints in Theory and Applications of Categories (1): 1—37, MR 1925933 ; reprinted with added commentary from Lawvere, F. William (1973), „Metric spaces, generalized logic, and closed categories”, Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, 43: 135—166 (1974), MR 352214, doi:10.1007/BF02924844
Parrott, Stephen (1987), Relativistic Electrodynamics and Differential Geometry, New York: Springer-Verlag, стр. 4, ISBN 0-387-96435-5, MR 867408, doi:10.1007/978-1-4612-4684-8
Rolewicz, Stefan (1987), Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems, Springer, ISBN 90-277-2186-6
Smyth, M. (1987), „Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces”, Ур.: Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, 298, Springer-Verlag, стр. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446
Vitányi, Paul M. B. (2011), „Information distance in multiples”, IEEE Transactions on Information Theory, 57 (4): 2451—2456, S2CID 6302496, arXiv:0905.3347 , doi:10.1109/TIT.2011.2110130
Väisälä, Jussi (2005), „Gromov hyperbolic spaces” (PDF), Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187—231, MR 2164775, doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010 
Vickers, Steven (2005), „Localic completion of generalized metric spaces, I”, Theory and Applications of Categories, 14 (15): 328—356, MR 2182680, Архивирано из оригинала 26. 04. 2021. г., Приступљено 21. 12. 2021
Xia, Qinglan (2008), „The geodesic problem in nearmetric spaces”, Journal of Geometric Analysis, 19 (2): 452—479, arXiv:0807.3377 
Xia, Q. (2009), „The geodesic problem in quasimetric spaces”, Journal of Geometric Analysis, 19 (2): 452—479, S2CID 17475581, arXiv:0807.3377 , doi:10.1007/s12220-008-9065-4
Smith, Karl (2013), Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, стр. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7
Cohen, David (2004), Precalculus: A Problems-Oriented Approach (6th изд.), Cengage Learning, стр. 698, ISBN 978-0-534-40212-9
Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (6th изд.), Cengage Learning, стр. 17, ISBN 978-1-111-80864-8

Спољашње везе

Interspace -A package for finding the distance between two vectors, numbers, strings etc.
SciPy -Distance computations (scipy.spatial.distance)
Julia Statistics Distance -A Julia package for evaluating distances (metrics) between vectors.
„The Directed Distance” (PDF). Information and Telecommunication Technology Center. University of Kansas. Архивирано из оригинала (PDF) 10. 11. 2016. г. Приступљено 18. 9. 2018.