Сферни хармоници

Сферни хармоници у математици представљају угаони део решења Лапласове једначине у сферним координатама.

Сферне хармонике је први 1782. увео Пјер Симон Лаплас, а облика су:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

и решење су једначине:

${\displaystyle {\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {dY_{\ell }^{m}}{d\theta }}\right)+(l(l+1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}})Y_{\ell }^{m}=0}$

Лапласова једначина у сферним координатама има облик:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.}$

Једначину решавамо сепарацијом варијабли претпостављајући решење облика:

${\displaystyle f(r,\vartheta ,\varphi )=R(r)Y(\vartheta ,\varphi )}$

Сепарацијом варијабли добија се:

${\displaystyle \Delta R(r)Y(\vartheta ,\varphi )=Y(\vartheta ,\varphi )\Delta _{r}R(r)+{\frac {R(r)}{r^{2}}}\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y(\vartheta ,\varphi )=0}$

Множећи са ${\displaystyle r^{2}}$ и делећи са ${\displaystyle R(r)Y(\vartheta ,\varphi )}$ добија се:

${\displaystyle {\frac {r^{2}\Delta _{r}R(r)}{R(r)}}+{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y(\vartheta ,\varphi )}{Y(\vartheta ,\varphi )}}=0}$

односно добијају се две једначине:

${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$

Угаона једначина

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y(\vartheta ,\varphi )=-\lambda Y(\vartheta ,\varphi )}$

може даље да се сепарира по две варијабле:

${\displaystyle Y(\vartheta ,\varphi )=\Theta (\vartheta )\Phi (\varphi )}$

Одатле се добија:

${\displaystyle \underbrace {{\frac {\sin ^{2}\vartheta }{\Theta (\vartheta )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\right)\Theta (\vartheta )+\sin ^{2}(\vartheta )\lambda )} _{m^{2}}=\underbrace {-{\frac {1}{\Phi (\varphi )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\Phi (\varphi )} _{m^{2}}}$

тј. две једначине:

${\displaystyle {\frac {1}{\Phi (\varphi )}}{\frac {d^{2}\Phi (\varphi )}{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$

${\displaystyle \lambda \sin ^{2}(\theta )+{\frac {\sin(\theta )}{\Theta (\theta )}}{\frac {d}{d\theta }}\left[\sin(\theta ){\frac {d\Theta }{d\theta }}\right]=m^{2}}$

Решење прве једначине је: ${\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )=A\exp(im\varphi )}$

Да би друга једначина имала решење мора бити задовољено ${\displaystyle \lambda =l(l+1)}$.

Коначно за угао ${\displaystyle \theta }$ добија се једначина:

${\displaystyle {\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm}}{d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _{lm}=0}$

Уведемо ли супституцију ${\displaystyle x=\cos(\theta )}$ добија се:

${\displaystyle (1-x^{2})\,\Theta ''-2x\Theta '+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,\Theta =0,\,}$<

односно једначина чије решење су придружени Лежандрови полиноми ${\displaystyle P_{lm}(\cos \vartheta )}$. Сада треба да нормирамо та решења уз помоћ ${\displaystyle \int _{0}^{\pi }|\Theta _{lm}(\vartheta )|^{2}\sin(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta =1}$ па добијамо:

${\displaystyle \Theta _{lm}(\vartheta )={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}\,\,P_{lm}(\cos \vartheta )}$

Исто тако треба да се нормира и по другом углу ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|\Phi _{m}(\varphi )|^{2}\mathrm {d} \varphi =1}$ , па се добија:

${\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(im\varphi ),\quad m\in \mathbb {Z} }$.

Заједничко угаоно решење је онда управо функција, коју називамо сферни хармоник:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

Сферни хармоници су ортогонални:

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},}$.

Задовољавају релацију потпуности:

${\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ')\,Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\delta (\varphi -\varphi ')\delta (\cos {\vartheta }-\cos {\vartheta '})}$

Осим тога у случају трансформација вреди:

${\displaystyle Y_{lm}(\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )=(-1)^{l}\cdot Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

${\displaystyle Y_{l,-m}(\vartheta ,\varphi )=(-1)^{m}\cdot Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )}$

Интеграл три сферна хармоника дат је преко 3-jm симбола:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\[8pt]0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

где су ${\displaystyle l_{1}}$, ${\displaystyle l_{2}}$ and ${\displaystyle l_{3}}$ цели бројеви.

Претпоставимо да су два јединична вектора ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ предстaвљена у сферним кординатама ${\displaystyle (\vartheta ,\,\varphi )}$ односно ${\displaystyle (\vartheta ',\,\varphi ')}$. Угао између два вектора је онда:

${\displaystyle \cos \gamma =\cos \vartheta \cos \vartheta '+\sin \vartheta \sin \vartheta '\cos(\varphi -\varphi ')\,.}$

Адиционa теоремa за сферне хармонике је:

${\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ').}$

За случај када се ради о истом вектору добија се:

${\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}}$

Пошто сферни хармоници чине потпун скуп опртонормалних функција функције могу да се развију преко њих:

${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$

а коефицијенти су:

${\displaystyle f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).}$

Првих неколико сферних хармоника

Ylm	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3
m = -3				${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\vartheta }\,e^{-3i\varphi }}$
m = −2			${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\,e^{-2i\varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\cos {\vartheta }\,e^{-2i\varphi }}$
m = −1		${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,e^{-i\varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,\cos {\vartheta }\,e^{-i\varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\vartheta }\left(5\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)\,e^{-i\varphi }}$
m = 0	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\pi }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\pi }}}\cos {\vartheta }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\vartheta }-3\cos {\vartheta }\right)}$
m = 1		${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,e^{i\varphi }}$	${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,\cos {\vartheta }\,e^{i\varphi }}$	${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\vartheta }\left(5\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)\,e^{i\varphi }}$
m = 2			${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\,e^{2i\varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\cos {\vartheta }\,e^{2i\varphi }}$
m = 3				${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\vartheta }\,e^{3i\varphi }}$