Теорија група

Теорија група је грана математике која се бави проучавањем група. Групе су скупови са операцијом. Операција у групи мора да задовољава затвореност, и да има следећа три додатна својства:

Операција мора да буде асоцијативна.
Мора постојати неутрал.
Сваки елемент мора имати одговарајући инверзан елемент.

Теорија група се користи широм математике а има и примене у физици и хемији. Групе могу бити коначне или бесконачне. Класификација коначних простих група, завршена 1983, је једно од већих математичких достигнућа 20. века.

Рана историја теорије група датира из 19. века. Једно од најважнијих математичких достигнућа 20. века^[1] био је заједнички напор, који је заузео више од 10.000 страница часописа и углавном објављен између 1960. и 1980. године, који је кулминирао потпуном класификацијом коначних једноставних група.

Главне класе група

Опсег група које се разматрају постепено се проширио од коначних пермутационих група и посебних примера матричних група до апстрактних група које се могу специфицирати кроз презентацију помоћу генератора и релација.^[2]^[3]

Пермутационе групе

Прва класа група која је била подвргнута систематској студији биле су пермутационе групе. Ако је дат било који скуп X и колекција G бијекција X у себе (позната као пермутације) која је затворена под композицијама и инверзима, G је група која делује на X. Ако се X састоји од n елемената, а G се састоји од свих пермутација, G је симетрична група S_n; генерално, свака пермутациона група G је подгрупа симетричне групе X. Једна рана конструкција по Кејлијевом предлогу је приказала било коју групу као пермутациону групу, делујући на себе (X = G) помоћу леве регуларне репрезентације.

У многим случајевима, структура пермутационе групе се може проучавати коришћењем особина њеног деловања на одговарајући скуп. На пример, на овај начин се доказује да је за n ≥ 5 алтернативна група A_n једноставна, тј. да не прихвата ниједну одговарајућу нормалну подгрупу. Ова чињеница игра кључну улогу у немогућности решавања опште алгебарске једначине степена n ≥ 5 у радикалима.

Матричне групе

Следећа важна класа група је дата матричним групама, или линеарним групама. Овде је G скуп који се састоји од инверзибилних матрица датог реда n над пољем K које је затворено испод производа и инверзија. Таква група делује на n-димензионални векторски простор Kⁿ линеарним трансформацијама. Ова акција чини матричне групе концептуално сличним пермутационим групама, а геометрија акције се може корисно искористити за успостављање својстава групе G.

Трансформационе групе

Пермутационе групе и матричне групе су посебни случајеви трансформационих група: група које делују на одређеном простору X чувајући његову инхерентну структуру. У случају пермутационих група, X је скуп; за матричне групе, X је векторски простор. Концепт трансформационе групе је уско повезан са концептом симетрије групе: трансформационе групе се често састоје од свих трансформација које чувају одређену структуру.

Апстрактне групе

Већина група које су разматране у првој фази развоја теорије група биле су „конкретне“, реализоване кроз бројеве, пермутације или матрице. Тек крајем деветнаестог века идеја о апстрактној групи као скупу са операцијама које задовољавају одређени систем аксиома почела је да се примењује. Типичан начин специфицирања апстрактне групе је кроз презентацију помоћу генератора и релација,

G=\langle S|R\rangle .

Значајан извор апстрактних група дат је конструисањем факторске групе, или количника групе, G/H, групе G помоћу нормалне подгрупе H. Класа групе поља алгебарских бројева биле су међу најранијим примерима факторских група, од велико интереса за теорију бројева. Ако је група G пермутациона група на скупу X, фактор групе G/H више не делује на X; али идеја апстрактне групе дозвољава да се може занемарити овој несклад.

Групе са додатном структуром

Важно проширење концепта групе се дешава ако G поседује додатну структуру, посебно тополошког простора, диференцибилне многострукости или алгебарског варијетета. Ако су групне операције m (множење) и i (инверзија),

m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},

компатибилне са овом структуром, односно непрекидне, глатке или правилне (у смислу алгебарске геометрије) мапе, онда је G тополошка група, Лијева група или алгебарска група.^[4]

Примене теорије група

У важније примене теорије група спада и следеће:

Групе се често користе да ухвате унутрашњу симетрију других структура. Унутрашња симетрија структуре је обично повезана са инваријантним својством; скуп трансформација које очувавају ово инваријантно својство, заједно са операцијом композиције трансформација чини групу коју називамо симетричном групом . Види и аутоморфизам група.
Теорија Галоа, која је историјско извориште концепта групе, користи групе да опише симетрије једначина које задовољавају нуле полинома. Решиве групе су тако назване због њихове важне улоге у овој теорији. Теорија Галоа је првобитно коришћена да докаже да полиноми петог и виших степена не могу (у општем случају) бити решени у затвореној форми на начин на који полиноми нижег степена могу.
Абелове групе, које захтевају и својство комутативности $a\cdot b=b\cdot a$ , леже у основи неколико других структура које се проучавају у апстрактној алгебри, као што су прстени, поља и модули.
У алгебарској топологији, групе се користе да опишу инваријанте тополошких простора. Оне се називају инваријантама јер су дефинисане на такав начин да се не мењају ако се простор подвргне некој деформацији.
Концепт Лијевих група (добио име по математичару Софус Ли) је важан у проучавању диференцијалних једначина и многострукости; оне комбинују анализу и теорију група и то их чини одговарајућим објектима за описивање симетрија аналитичких структура. Анализа на овим и другим групама се зове хармоничка анализа.
Разумевање теорије група је такође важно у физици и хемији. У физици, групе су важне јер описују симетрије за које изгледа да их поштују закони физике. Физичари су врло заинтересовани за репрезентације група, посебно Лијевих група, јер ове репрезентације често указују на могуће физичке теорије.
У хемији, групе се користе да класификују кристалне структуре, регуларне полиедре и симетрије молекула. Теорија група помаже у одређивању физичких својстава (као што су поларност и хиралност), спектроскопских својстава, и у конструисању молекуларних орбитала.
Теорија група има широку примену у криптографији. Врло велике групе простог реда се конструишу дефинисањем елиптичких кривих над коначним пољима.

Референце

^ Elwes, Richard (децембар 2006). „An enormous theorem: the classification of finite simple groups”. Plus Magazine (41).
^ Herstein 1975, стр. 26, §2.
^ Hall 1967, стр. 1, §1.1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."
^ This process of imposing extra structure has been formalized through the notion of a group object in a suitable category. Thus Lie groups are group objects in the category of differentiable manifolds and affine algebraic groups are group objects in the category of affine algebraic varieties.

Литература

Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 126 (2nd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012, doi:10.1007/978-1-4612-0941-6
Carter, Nathan C. (2009), Visual group theory, Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-757-1, MR 2504193, Архивирано из оригинала 19. 12. 2021. г., Приступљено 19. 12. 2021
Cannon, John J. (1969), „Computers in group theory: A survey”, Communications of the ACM, 12: 3—12, MR 0290613, doi:10.1145/362835.362837
Frucht, R. (1939), „Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe”, Compositio Mathematica, 6: 239—50, ISSN 0010-437X, Архивирано из оригинала 2008-12-01. г.
Golubitsky, Martin; Stewart, Ian (2006), „Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 43 (03): 305—364, MR 2223010, doi:10.1090/S0273-0979-06-01108-6  Shows the advantage of generalising from group to groupoid.
Judson, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: Theory and Applications An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source GFDL license.
Kleiner, Israel (1986), „The evolution of group theory: a brief survey”, Mathematics Magazine, 59 (4): 195—215, ISSN 0025-570X, JSTOR 2690312, MR 863090, doi:10.2307/2690312
Livio, M. (2005), The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Simon & Schuster, ISBN 0-7432-5820-7 Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to symmetries in physics and other sciences.
Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290
Rotman, Joseph (1994), An introduction to the theory of groups, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8 A standard contemporary reference.
Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. (2001), Combinatorial group theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41158-1
Scott, W. R. (1987) [1964], Group Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3 Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
La Harpe, Pierre de (2000), Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-31721-2
Artin, Michael (2018), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-468960-9 , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
Cook, Mariana R. (2009), Mathematicians: An Outer View of the Inner World, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 9780691139517
Hall, G. G. (1967), Applied Group Theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, MR 0219593 , an elementary introduction.
Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract Algebra (3rd изд.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019 .
Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in Algebra (2nd изд.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988 .
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third изд.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3 .
Ledermann, Walter (1953), Introduction to the Theory of Finite Groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, MR 0054593 .
Ledermann, Walter (1973), Introduction to Group Theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613 .
Robinson, Derek John Scott (1996), A Course in the Theory of Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 .
Artin, Emil (1998), Galois Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-62342-9 .
Aschbacher, Michael (2004), „The status of the classification of the finite simple groups” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 51 (7): 736—740 .
Awodey, Steve (2010), Category Theory, Oxford University Press, ISBN 9780199587360
Behler, Florian; Wickleder, Mathias S.; Christoffers, Jens (2014), „Biphenyl and bimesityl tetrasulfonic acid – new linker molecules for coordination polymers”, Arkivoc, 2015 (2): 64—75, doi:10.3998/ark.5550190.p008.911 
Bersuker, Isaac (2006), The Jahn–Teller Effect, Cambridge University Press, ISBN 0-521-82212-2 .
Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2001), „The groups of order at most 2000”, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 7: 1—4, MR 1826989, doi:10.1090/S1079-6762-01-00087-7  .
Bishop, David H. L. (1993), Group Theory and Chemistry, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4 .
Carter, Roger W. (1989), Simple Groups of Lie Type, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6 .
Chancey, C. C.; O'Brien, M. C. M. (2021), The Jahn–Teller Effect in C60 and Other Icosahedral Complexes, Princeton University Press, ISBN 9780691225340
Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), „On three-dimensional space groups”, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475—507, MR 1865535, arXiv:math.MG/9911185  .
Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory], Lecture Notes in Mathematics (на језику: француски), 1441, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, MR 1075994 .
Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002), Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-254-1 .
Dove, Martin T (2003), Structure and Dynamics: An Atomic View of Materials, Oxford University Press, стр. 265, ISBN 0-19-850678-3 .
Dudek, Wiesław A. (2001), „On some old and new problems in $n$ -ary groups” (PDF), Quasigroups and Related Systems, 8: 15—36, MR 1876783 .
Eliel, Ernest; Wilen, Samuel; Mander, Lewis (1994), Stereochemistry of Organic Compounds, Wiley, ISBN 9780471016700
Ellis, Graham (2019), „6.4 Triangle groups”, An Invitation to Computational Homotopy, Oxford University Press, стр. 441—444, ISBN 978-0-19-883298-0, MR 3971587, doi:10.1093/oso/9780198832973.001.0001 .
Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation Theory: A First Course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249
Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (2nd изд.), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, стр. 588—596, ISBN 0-201-02918-9 .
Gollmann, Dieter (2011), Computer Security (2nd изд.), West Sussex, England: John Wiley & Sons, Ltd., ISBN 978-0470741153
Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1 .
Husain, Taqdir (1966), Introduction to Topological Groups, Philadelphia: W.B. Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3
Jahn, H.; Teller, E. (1937), „Stability of polyatomic molecules in degenerate electronic states. I. Orbital degeneracy”, Proceedings of the Royal Society A, 161 (905): 220—235, Bibcode:1937RSPSA.161..220J, doi:10.1098/rspa.1937.0142  .
Kuipers, Jack B. (1999), Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality, Princeton University Press, Bibcode:1999qrsp.book.....K, ISBN 978-0-691-05872-6, MR 1670862 .
Kuga, Michio (1993), Galois' Dream: Group Theory and Differential Equations, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, MR 1199112 .
Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The Theory of Finite Groups, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, MR 2014408 .
Lay, David (2003), Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-70970-4 .
Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2 .
Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004) [1966], Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations, Courier, ISBN 978-0-486-43830-6
MathSciNet (2021), List of papers reviewed on MathSciNet on "Group theory and its generalizations" (MSC code 20), published in 2020, Приступљено 14. 5. 2021 ^{[мртва веза]}
Michler, Gerhard (2006), Theory of Finite Simple Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5 .
Milne, James S. (1980), Étale Cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
Naber, Gregory L. (2003), The Geometry of Minkowski Spacetime, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, MR 2044239 .
Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021
Romanowska, A. B.; Smith, J. D. H. (2002), Modes, World Scientific, ISBN 978-981-02-4942-7 .
Ronan, Mark (2007), Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280723-6 .
Rosen, Kenneth H. (2000), Elementary Number Theory and its Applications (4th изд.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, MR 1739433 .
Rudin, Walter (1990), Fourier Analysis on Groups, Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X .
Seress, Ákos (1997), „An Introduction to Computational Group Theory” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 44 (6): 671—679, MR 1452069 .
Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, MR 0450380 .
Schwartzman, Steven (1994), The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-883-85511-9 .
Shatz, Stephen S. (1972), Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778
Simons, Jack (2003), An Introduction to Theoretical Chemistry, Cambridge University Press, ISBN 9780521530477
Solomon, Ronald (2018), „The classification of finite simple groups: A progress report”, Notices of the AMS, 65 (6): 1, doi:10.1090/noti1689 
Stewart, Ian (2015), Galois Theory (4th изд.), CRC Press, ISBN 978-1-482-24582-0
Suzuki, Michio (1951), „On the lattice of subgroups of finite groups”, Transactions of the American Mathematical Society, 70 (2): 345—371, JSTOR 1990375, doi:10.2307/1990375  .
Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6 .
Шаблон:Weibel IHA
Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5 .
Welsh, Dominic (1989), Codes and Cryptography, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3 .
Weyl, Hermann (1952), Symmetry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8 .
Zee, A. (2010), Quantum Field Theory in a Nutshell (second изд.), Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 9780691140346, OCLC 768477138
Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5
Cayley, Arthur (1889), The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley, II (1851–1860), Cambridge University Press .
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „The development of group theory”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5 .
von Dyck, Walther (1882), „Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical studies)”, Mathematische Annalen (на језику: немачки), 20 (1): 1—44, S2CID 179178038, doi:10.1007/BF01443322, Архивирано из оригинала 2014-02-22. г. .
Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules, ур., Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] (на језику: француски), Paris: Gauthier-Villars (Galois work was first published by Joseph Liouville in 1843).
Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations] (на језику: француски), Paris: Gauthier-Villars .
Lie, Sophus (1973), Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] (на језику: немачки), New York: Johnson Reprint Corp., MR 0392459 .
Mackey, George Whitelaw (1976), The Theory of Unitary Group Representations, University of Chicago Press, MR 0396826
Smith, David Eugene (1906), History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1 .
Weyl, Hermann (1950) [1931], The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Превод: Robertson, H. P., Dover, ISBN 978-0-486-60269-1 .
Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-45868-7 .

Спољашње везе

„History of the abstract group concept”.
Higher dimensional group theory This presents a view of group theory as level one of a theory which extends in all dimensions, and has applications in homotopy theory and to higher dimensional nonabelian methods for local-to-global problems.
Plus teacher and student package: Group Theory This package brings together all the articles on group theory from Plus, the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge, exploring applications and recent breakthroughs, and giving explicit definitions and examples of groups.
Burnside, William (1911), „Groups, Theory of”, Ур.: Chisholm, Hugh, Encyclopædia Britannica (на језику: енглески), 12 (11 изд.), Cambridge University Press, стр. 626—636 This is a detailed exposition of contemporaneous understanding of Group Theory by an early researcher in the field.