Уређени пар

Уређени пар представља пар елемената било којег скупа, у којем је битан распоред, тј. у коме се разликују први и други елемент. Први елемент називамо „првом координатом“, а други „другом координатом“. Уобичајена нотација за уређени пар са првом координатом ${\displaystyle a}$ и другом координатом ${\displaystyle b}$ је ${\displaystyle (a,b)}$.

У математици, у теорији скупова, уређени пар елемената ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ представља скуп ${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}}$ (дефиницију је предложио пољски математичар Kuratowski).

Нека су ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ и ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ два уређена пара. Ова два уређена пара су једнака ако и само ако је:

${\displaystyle a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}}$

На основу дефиниције уређеног пара се дефинише и Декартов производ скупова, на сљедећи начин:

${\displaystyle AxB=\{(a,b)|a\in A\land b\in B\}}$

Са оваквом дефиницијом, потребно је одредити који скупови могу бити Декартови производи одговарајућих скупова. Наиме, ако ${\displaystyle a\in A}$, онда скуп који садржи ${\displaystyle a}$ је подскуп од скупа ${\displaystyle A}$, тј. ${\displaystyle \{a\}\subseteq A}$, па припада скупу свих подскупова од ${\displaystyle A}$, тј. ${\displaystyle \{a\}\in {\mathcal {P}}(A)}$, а овај је подскуп од ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A\cup B)}$.

На сличан начин, ако ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ припадају редом ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, онда скуп од ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ припада унији скупова ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, тј. ${\displaystyle \{a,b\}\subseteq A\cup B}$, одакле поново слиједи да ${\displaystyle \{a,b\}\in {\mathcal {P}}(A\cup B)}$.

Дакле, ако и скуп ${\displaystyle \{a\}}$ и скуп ${\displaystyle \{a,b\}}$ припадају скупу свих подскупова уније ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, тј. ако ${\displaystyle {a},{a,b}\in {\mathcal {P}}(A\cup B)}$, онда и скуп који њих садржи, ${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}}$ припада ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))}$, па дефиниција Декартовог производа на основу уређених парова гласи:

${\displaystyle AxB=\{x\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))|\exists a\exists b(a\in A\land b\in B\land x=(a,b))\}}$

По дефиницији, уређена тројка ${\displaystyle (a,b,c)}$ је исто што и уређени пар ${\displaystyle ((a,b),c)}$. На исти начин се дефинише и уређена четворка (${\displaystyle (a,b,c,d)=((a,b,c),d))=(((a,b),c),d)}$) итд.

Означавање са отвореним заградама, нпр. ${\displaystyle (a,b)}$, може да створи забуну, јер се иста нотација користи за отворени интервал на реалној бројевној правој. Алтернативна нотација која се код нас ретко користи је ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$.