Хелмхолцова теорема

Хелмхолцова теорема или Хелмхолцова декомпозиција представља једну од теорема векторскога рачуна. Према тој теореми ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље одређени у свакој тачки коначне области, тада унутар ње векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну. Хелмолцова теорема је добила име по Херману фон Хелмхолцу.

Ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ одређени у свакој тачки коначне области, тада се унутар те области то векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну, тј:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} ),}$

где је:

${\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )=0}$ и

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )=0}$

То заправо значи да се такво векторско поље може генерирати са два потенцијала, једним скаларним ${\displaystyle \varphi }$ и другим векторским ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Пошто је:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} ),}$

${\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )=0,}$

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )=0}$

Онда се те две функције даду изразити преко скаларнога потенцијала ${\displaystyle \varphi }$ и векторскога потенцијала ${\displaystyle \mathbf {A} }$ тј:

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=-\nabla \varphi }$

${\displaystyle \mathbf {F} _{2}=\nabla \times \mathbf {A} }$

односно:

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} ,}$

При томе је:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}},}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}$

Ако ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ опада довољно брзо у бесконачности, тада друга компонента тежи нули, па вреди:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V',}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'.}$

Често се у физици те две компоненте векторскога поља помињу као лонгитудинална и трансверзална компонента. Таква терминологија настала је када се Фуријеовом трансформацијом од поља ${\displaystyle \mathbf {F} }$ добије поље ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {F} }}}$, које се онда у свакој тачки k декомпонира у две компоненте, од којих је лонгитудиналан у смеру k, а трансверзална вертикална на k. Тада имамо:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\tilde {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )+{\tilde {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )}$

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$

${\displaystyle \mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$

Инверзном Фуријеровом трансформацијом добијамо:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{t}+\mathbf {F} _{l}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}=0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}=\mathbf {0} }$

што представља Хелмхолцову декомпозицију.

• Хелмхолцова теорема
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995)