Dirakova delta funkcija

Dirakova (delta) funkcija ili δ funkcija se opisuje kao funkcija u realnoj ravni, čija je vrednost u svim tačkama 0, osim u tački 0 kada iznosi beskonačno mnogo, definisana tako da je njen integral po celoj oblasti definsanosti 1.

δ funkciju je formulisao teoretski fizičar Pol Dirak. Diskretna analogija Dirakove funkcije je Kroneker delta funkcija, koja je obično definisana u konačnom domenu i uzima vrednosti između 0 i 1.

Iako gledano iz čisto matematičke strane, Dirakova delta funkcija nije striktna funkcija, odnosno nije funkcija u pravom smislu tih reči. Integral bilo koje realne funkcije koja doseže do beskonačnosti i ima vrednost u svim tačkama 0, a samo u jednoj tački vrednost 1 imao bi vrednost 0, a ne 1 što je slučaj sa δ funkcijom. Dirakova delta funkcija ima smisao jedino kada se pojavljuje kao matematički objekat unutar integrala. Formalno se mora definisati kao distribucija ili mera. U mnogim primenama, δ funkcija predstavlja graničnu vrednost niza funkcija normalnih distribucija sa tačkom nagomilavanja u nuli, iako su približne vrednosti ovih raspodela samo približna vrednost δ funkcije.

Dirakova delta funkcija je najpribližnije rečeno funkcija na realnoj pravoj čija je vrednost svugde nula, osim u koordinatnom početku. gde je njena vrednost beskonačna,

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$

i defisana da zadovoljava identitet da je njen integral u intervalu od ${\displaystyle -\infty }$ do ${\displaystyle +\infty }$ jednak 1,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$

δ funkcija se formalno definiše kao distribucija ili mera.

Kronekerova delta funkcija se za cele brojeve i i j definiše kao:

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j.\end{cases}}}$

Tada za sve nizove ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }}$ koji su beskonačni u oba pravca (dosežu i do ${\displaystyle +\infty }$ i do ${\displaystyle -\infty }$), važi:

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}$

Slično, za bilo koju realnu ili kompleksnu funkciju ƒ neprekidnu u R, Dirakova delta funkcija zadovoljava osobinu:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$

Povezanost osobina ovih dveju funkcija čini Kronekerovu delta funkciju diskretnom analogijom Dirakove delta funkcije na skupu ${\displaystyle [0,1]}$.

δ funkcija u fizici predstavlja idealizovani centar mase. Dirakova delta distribucija se koristi u teoriji verovatnoće za diskretnu raspodelu. Diskretizovana δ funkcija je ključna za formulisanje ortonormalnosti u kvantnoj mehanici. Koristi se i u teoriji konstrukcija za opisivanje prolaznog opterećenja ili tačke opterećenja u strukturama.

• Kroneker delta funkcija
• Kvantna mehanika
• Furijeove transformacije

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Delta-function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• KhanAcademy.org video lesson
• The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.