ஆட்களம் (கணிதம்)

கணிதத்தில் ஒரு செயலி (சார்பு) அதன் தன்மை காரணமாக ஒரு வரையறை செய்யப்பட்ட சாரா மாறிகளையே கொண்டிருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக $f(x)=1/x$ என்ற செயலியை கருதுக. அச்செயலி பூச்சியம் தவிர்ந்த ஏனைய மெய்யெண்களில் எல்லாம் வரையறை செய்யப்பட்டுள்ளது. எந்த ஒரு செயலிக்கும் அதன் சாரா மாறிகள் எடுக்கக்கூடிய பெறுமானங்களின் வரையறை அச்செயலியின் ஆட்களம் (Domain) ஆகும்.^[1]^[2]

வரையறைகள்

ஒரு சார்பு f:X→Y கொடுக்கப்பட்டதாகக்கொள்வோம். இங்கு f இனுடைய உள்ளீடுகளின் கணம் X. இதற்கு f இன் ஆட்களம் எனப்பெயர். வெளியீடுகள் எந்த கணத்தில் போய்ச்சேருகிறதோ அந்த கணம் Y. அதற்கு இணையாட்களம் எனப்பெயர். வெளியீடுகளின் கணம் வீச்சு எனப்படும். f இன் வீச்சு , இணையாட்களம் Y இன் உட்கணமாகும். எப்பொழுது f இன் வீச்சு Y ஆகவே இருக்கிறதோ அப்பொழுது f ஒரு முழுக்கோப்பு அல்லது முழுச்சார்பு எனப்படும்.

சரியான முறையில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சார்பு ஆட்களத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் இணையாட்களத்திலுள்ள ஒரு உறுப்புக்குக்கொண்டு செல்லவேண்டும்.

f(x) = 1/x

என்ற சார்பு f(0) க்கு ஒரு மதிப்பையும் கொடுக்கமுடியாது. அதனால் R அதன் ஆட்களமாக இருக்கமுடியாது. இந்தமாதிரி சூழ்நிலையை இரண்டுவிதமாகக் கையாளலாம்.

ஒன்று, சார்பின் ஆட்களத்தை R\{0} என்று விதித்து விடலாம்.

அல்லது, இரண்டாவது வகையாக, f(0) வை தனிப்படியாக வரையறுத்து இந்த 'ஒழுக்கை' அடைத்துவிடலாம். அதாவது,

f(x) = 1/x, x ≠ 0

f(0) = 0,

என்று f இன் வரையறையிலேயே விதித்துவிட்டால், அப்பொழுது f எல்லா மெய்யெண்களிலும் வரையறுக்கப்பட்டதாக ஆகிவிடுகிறது. f இன் ஆட்களத்தை இப்பொழுது R என்றே கொள்ளலாம்.

எந்த சார்பும் அதன் ஆட்களத்தின் ஒரு உட்கணத்திற்கு கட்டுப்படுத்தப்படலாம்.

g : A → B

என்ற சார்பை A இன் ஒரு உட்கணம் S க்கு கட்டுப்படுத்தப்பட்டால், அது

g |_S : S → B.

என்று குறிக்கப்படும்.

வகுதிக்கோட்பாடு

வகுதிக்கோட்பாட்டில் (Category theory) சார்புகளுக்கு பதில் அமைவியங்கள் (morphisms) பேசப்படுகின்றன. அமைவியங்கள் என்பவை ஒரு பொருளிலிருந்து இன்னொன்றுக்குப் போகும் அம்புக்குறிகளே. அப்பொழுது ஒரு அமைவியத்தின் ஆட்சி அந்த அம்புக்குறிகள் எங்கு தொடங்குகின்றனவோ அந்தப் பொருள் தான்.