எடையிடப்பட்ட சராசரி

புள்ளியியலில் கூட்டுச் சராசரி காணும்போது ஒரு தரவின் இறுதி சராசரியின் மதிப்பிற்கு தரவில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் பங்களிப்பும் சமமானதாக உள்ளது. ஆனால் நடைமுறையில் ஒவ்வொரு உறுப்பும் வெவ்வேறு அளவில் முக்கியத்துவம் கொண்டதாக உள்ள தரவுகளும் உண்டு. அவற்றின் சாதாரண கூட்டுச்சராசரி, அத்தரவின் தன்மையைக் பிரதிபலிக்கும் சிறந்த பிரதிநிதியாக அமையாது.எனவே அந்த மாதிரியான தரவுகளுக்கு எடையிடப்பட்ட சராசரி (weighted mean) பொருத்தமான ஒன்றாக அமைகிறது. விளக்க புள்ளியியலில் எடையிடப்பட்ட சராசரி என்ற கருத்து முக்கியமான பங்கு வகிக்கிறது. எடையிடப்பட்ட சராசரி கணிதத்தின் பிற பிரிவுகளிலும் பரவலாக பொதுவான வடிவில் காணப்படுகிறது. தரவுகளில் உள்ள மதிப்புகளின் முக்கியத்துவத்தைப் பொறுத்து அவை ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு எடை இணைக்கப்பட்டு அதன்பின் தரவின் சராசரி காணப்படுகிறது. எடைகள் அனைத்தும் சமமாக இருந்தால் எடையிடப்பட்ட சராசரி, கூட்டுச் சராசரிக்குச் சமமாக இருக்கும். பொதுவாக எடையிடப்பட்ட சராசரி, கூட்டுச்சராசரியைப் போலவே அமைந்திருந்தாலும் சிம்ப்சன் முரணுரையில் (Simpson's paradox ) உள்ளது போன்ற சில மாறான பண்புகளையும் உடையது.

எடையிடப்பட்ட பெருக்கல் சராசரி மற்றும் எடையிடப்பட்ட இசைச் சராசரி இரண்டும் உண்டு. எனினும் எடையிடப்பட்ட சராசரி என்று மட்டும் குறிப்பிடும்போது அது எடையிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரியையே குறிக்கும்.

ஒரு பள்ளியிலுள்ள காலை மற்றும் மதிய வகுப்புகள் இரண்டில் உள்ள மாணவிகளின் எண்ணிக்கை முறையே 20, 30. ஒரு தேர்வில் அவ்விரண்டு வகுப்பிலும் உள்ள மாணவிகள் பெற்ற மதிப்பெண்கள்:

காலை வகுப்பு = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98

மதிய வகுப்பு = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

காலை வகுப்பு மாணவியரின் நேரிடையான சராசரி மதிப்பெண் 80. மாலை வகுப்பு மாணவியரின் நேரிடையான சராசரி மதிப்பெண் 90. இவ்விரண்டின் நேரிடையான சராசரி 85. ஆனால் இச்சராசரி இரு வகுப்புகளிலும் உள்ள மாணவியரின் எண்ணிக்கையின் வித்தியாசத்தைக் கணக்கில் கொள்ளவில்லை. மேலும் தனித்தனி வகுப்பு மாணவியரின் சராசரி மதிப்பெண்ணை இது பிரதிபலிக்கவில்லை.

மாணவியரின் சராசரி மதிப்பெண்ணை (வகுப்புகளைக் கணக்கில் கொள்ளாது) இரு வகுப்பிலுள்ள அனைத்து மாணவியரின் மதிப்பெண்களின் சராசரியாகக் காணலாம்:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {4300}{50}}=86.}$

அல்லது ஒவ்வொரு வகுப்பின் சராசரி மதிப்பெண்ணையும் அந்த வகுப்பு மாணவியரின் எண்ணிக்கையைக் கொண்டு எடையிட்டுப் பின் சராசரி காணலாம்:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {(20)80+(30)90}{20+30}}=86.}$

எடையிடப்பட்ட சராசரி காணும் இம்முறையில், மாணவியரின் தனித்தனி மதிப்பெண்களின் தரவுகள் தரப்படாமல், அந்தந்த வகுப்புச் சராசரி மதிபெண்ணும் மாணவியர் எண்ணிக்கையும் மட்டும் தரப்பட்டிருந்தால் கூட மாணவியரின் சராசரி மதிப்பெண்ணைக் காணமுடியும்.

வெற்றுக் கணமல்லாத தரவு கணம்:

${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\},}$

இவற்றின் நேர்ம மதிப்புடைய எடைகள்:

${\displaystyle \{w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\},}$

இத்தரவின் எடையிடப்பட்ட சராசரியின் முறையான வரையறை:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}.}$

அதாவது:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}.}$

எனவே ஒரு தரவின் எடையிடப்பட்ட சராசரியின் மதிப்பில், தரவில் அதிக எடையுள்ள உறுப்புகளின் பங்கு அதிகமாகவும் குறைந்த எடையுள்ள உறுப்புகளின் பங்கு குறைவாகவும் இருக்கும். எடைகளின் மதிப்பு எதிர்மமாக இருக்க முடியாது. சில எடைகள் பூச்சியமாக இருக்கலாம். ஆனால் எல்லா எடைகளும் பூச்சியமாக இருக்க முடியாது.(பூச்சியத்த்தினால் வகுத்தல் சாத்தியமல்ல.)

எடைகள் இயல்நிலையாக்கப்பட்டால், அதாவது அவற்றின் கூடுதல் ${\displaystyle 1}$ எனில் எடையிடப்பட்ட சராசரியின் வாய்ப்பாடு எளிமையான வடிவம் பெறுகிறது:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{w_{i}}=1}$.

எடைகள் இயல்நிலையாக்கப்பட்ட எடையிடப்பட்ட சராசரி:

${\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}x_{i}}}$.

சாதாரண சராசரி ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}},}$ -எடைகள் அனைத்தும் சமமாகக் கொண்ட எடையிடப்பட்ட சராசரியின் சிறப்பு வகையாகும்.

${\displaystyle w_{i}=w}$.

தொடர்புள்ள எடைகள்தான் பொருத்தமானவையாக அமையும் என்பதால், எடையிடப்பட்ட சராசரியைக் கூட்டுத்தொகை 1 ஆகவுள்ள கெழுக்களின் வாயிலாக எழுதலாம். அப்படிப்பட்ட ஒரு நேரியல் சேர்வு குவிவுச் சேர்வு எனப்படும்

முந்தைய எடுத்துக்காட்டைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் முடிவை அடையலாம்.

${\displaystyle {\frac {20}{20+30}}=0.4\,}$

${\displaystyle {\frac {30}{20+30}}=0.6\,}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {(0.4)80+(0.6)90}{0.4+0.6}}=86.}$

${\displaystyle {\bar {x}}=(0.4)80+(0.6)90=86.}$

இயல்நிலையாக்கப்பட்ட எடைகளைக் கொண்ட எடையிடப்பட்ட மாதிரிச் சராசரி(weighted sample mean) ${\displaystyle {\bar {x}},}$ ஒரு சமவாய்ப்பு மாறியாகும். இதன் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பும் திட்டவிலக்கமும் கண்டறியப்பட்ட தரவின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்புகள், திட்ட விலக்கங்கள் மற்றும் பரவற்படிகளுடன் கீழ்க்கண்டவாறு தொடர்புடையவை.

கண்டறியப்பட்ட தரவின் உறுப்புகளின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்புகள்:

${\displaystyle E(x_{i})={\bar {x_{i}}},}$ எனில்

எடையிடப்பட்ட மாதிரிச் சராசரியின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு:

${\displaystyle E({\bar {x}})=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}{\bar {x_{i}}}}.}$

கண்டறியப்பட்ட தரவின் உறுப்புகளின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்புகள் அனைத்தும் சமம் எனில்:

${\displaystyle {\bar {x_{i}}}=c}$,

எடையிடப்பட்ட மாதிரிச் சராசரியின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு:

${\displaystyle E({\bar {x}})=c.\,}$

இணைவினையற்ற(uncorrelated) கண்டறியப்பட்ட தரவின் திட்ட விலக்கங்கள்: ${\displaystyle \sigma _{i}}$,

எடையிடப்பட்ட மாதிரிச் சராசரியின் திட்ட விலக்கம்:

${\displaystyle \sigma ({\bar {x}})={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}}}.}$

கண்டறியப்பட்ட தரவின் திட்ட விலக்கங்கள் அனைத்தும் சமமாக இருந்தால், ${\displaystyle \sigma _{i}=d}$:

எடையிடப்பட்ட மாதிரிச் சராசரியின் திட்டவிலக்கம்:

${\displaystyle \sigma ({\bar {x}})=d{\sqrt {V_{2}}}}$.

இங்கு ${\displaystyle V_{2}}$ என்பது:

${\displaystyle V_{2}=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}^{2}},}$ ${\displaystyle 1/n\leq V_{2}\leq 1}$.

எடைகள் அனைத்தும் சமமாக இருந்தால் இத்திட்டவிலக்கத்தின் மதிப்பு, சிறும மதிப்பாகவும் எடைகளில் ஒன்றைத் தவிர மற்றவை பூச்சியமாக இருந்தால் பெரும மதிப்பாகவும் இருக்கும்.

இம்மீச்சிறு மதிப்பு: ${\displaystyle \sigma ({\bar {x}})=d/{\sqrt {n}}}$ மைய எல்லைத் தேற்றத்துடன் தொடர்புடையது.

ஒவ்வொரு உறுப்பும் ${\displaystyle x_{i}\,\!}$ வெவ்வேறான நிகழ்தவுப் பரவலைச் சேர்ந்ததாகக் கொண்ட ஒரு தரவின் உறுப்புகளின் பரவற்படிகள் ${\displaystyle {\sigma _{i}}^{2}\,}$ எனில், அத்தரவின் எடையிடப்பட்ட சராசரியின் எடைகளாக அமையக் கூடியவை:

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}.}$

இந்த எடைகளைக் கொண்ட எடையிடப்பட்ட சராசரி:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}/{\sigma _{i}}^{2})}{\sum _{i=1}^{n}(1/{\sigma _{i}}^{2})}},}$

எடையிடப்பட்ட சராசரியின் பரவற்படி:

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}(1/{\sigma _{i}}^{2})}},}$

தரவின் அனைத்து பரவற்படிகளும் சமமாக இருக்கும்போது:

${\displaystyle \sigma _{i}=\sigma _{0}.\,}$

இந்நிலையில் எடையிடப்பட்ட சராசரி:

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {{\sigma _{0}}^{2}}{n}}}$.

எடையிடப்பட்ட சராசரி என்ற கருத்துருவை சார்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.^[1] சார்புகளின் எடையிடப்பட்ட சராசரி, எடையிடப்பட்ட வகை நுண்கணிதம் மற்றும் தொகை நுண்கணிதம் தொகுதிகளில் முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது.^[2]

• Bevington, Philip. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences.

• David Terr, "Weighted Mean", MathWorld.
• Weighted Mean Calculation