எண்ணுறா முடிவிலிகள்

கணிதத்தில் எண்ணுறா முடிவிலிகள் அல்லது எண்ணவியலா முடிவிலிகள் (Uncountable set) என்பன எண்ணிக்கையிட முடியாத அளவிலான உறுப்புக்களைக் கொண்ட கணங்களாகும். அனைத்து முடிவுள்ள கணங்களும் இயலெண் கணம் முதலிய பல முடிவிலிக் கணங்களும் எண்ணக்கூடியவையே. மாறாக, அனைத்து எண்ணவியலாக் கணங்களும் முடிவிலிகளே.

முடிவிலிகளில் எண்ணிக்கையிடக் கூடிய தன்மை சற்று விந்தையாகத் தெரியலாம். எண்ணிக்கையிடக் கூடியவை என்று கூறுகையில், ஒரு கணத்தின் எல்லா உறுப்பினர்களையும் எண்ணி முடித்து இறுதியாக ஒரு எண்ணிக்கையைத் தரக்கூடியவை என்று பொருளல்ல. ஒவ்வொரு உறுப்பினருடன் ஒரு இயலெண்ணைத் தொடர்புபடுத்தி வரிசையிடப் படக்கூடியவை என்பதே பொருள். இவ்வாறு எண்ணிக்கையிடக் கூடியவை முடிவிலிகளாகவும் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக முழு எண்களைக் கொண்ட கணம் முடிவிலியாக இருப்பினும் எண்ணக்கூடியதே. இக்கணத்தில் சுழி என்பதை முதலாம் உறுப்பினராகவும், ஒன்று என்பதை இரண்டாம் உறுப்பினராகவும், எதிர்ம ஒன்று (-1) என்பதை மூன்றாவதாகவும், இரண்டு என்பதை நான்காவதாகவும், எதிர்ம இரண்டை ஐந்தாவதாகவும் குறிப்பிட்டு, பிற உறுப்பினர்களையும் இதே அடிப்படையில் இயலெண்களுடன் தொடர்வு ஏற்படுத்த முடியும். இவ்வாறாக, இத்தகைய கணங்கள் முடிவிலிகளாக இருந்தும் விரல் விட்டு எண்ணப்படக் கூடியவை (முடிவுள்ள நேரத்தில் எண்ணிமுடிக்கப்பட முடியாதவையாயினும்).^[1]

சில முடிவிலி கணங்களை மேற்கூறிய முறையில் இயலெண் கணத்துடன் தொடர்வு ஏற்படுத்த முடிவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக மெய்யெண் கணத்தைக் கொள்ளலாம். கேண்டரின் கோணல்கோடு நிறுவல்முறையில் மெய்யெண் கணம் மற்றும் வேறுசில கணங்களையும் எண்ணவியலாக் கணங்கள் என்று நிறுவ முடியும்.

எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும்