கற்பனை அலகு

கற்பனை அலகு அல்லது அலகு கற்பனை எண் (imaginary unit, unit imaginary number) என்றழைக்கப்படும் ${\displaystyle i}$ ஆனது, மெய்யெண்களை (ℝ) சிக்கலெண்களுக்கு (ℂ) நீட்டிக்கும் ஒரு கணிதக் கருத்துரு ஆகும். இவ்வாறு மெய்யெண்கள் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதால் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் P(x) குறைந்தபட்சம் ஒரு மூலமாவது கிடைக்கிறது.

i இன் முக்கியப் பண்பு:

i² = −1

வர்க்கத்தை எதிரெண்ணாகக் கொண்ட மெய்யெண்களே இல்லை என்பதால் i ஒரு கற்பனை எண்ணாகக் கொள்ளப்படுகிறது. கற்பனை அலகைக் குறிப்பதற்கு, சில இடங்களில் i என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக j அல்லது கிரேக்க எழுத்தான ι பயன்படுத்தப்படுகின்றது.

i இன் வரையறையானது, i இன் வர்க்கம் -1 என்ற பண்பை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது:

${\displaystyle i^{2}=-1\ .}$

ஆனால் i இன் இந்த வரையறையின் விளைவாக, i, -i என -1 க்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் கிடைக்கின்றன.

மெய்யெண்களில் மேற்கொள்ளப்படும் அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். எந்தவொரு கணிதச் செயலையும் சிக்கலெண்களில் மேற்கொள்ளும்போது, iஐ மதிப்புத் தெரியாத கணியமாகப் பாவித்து செயல்களைச் செய்த பின்னர், விளைவில் உள்ள i² இன் மதிப்பை −1 எனப் பதிவிட வேண்டும். மேலும் i இன் அடுக்கு இரண்டைவிட அதிகமாக இருப்பின் அவற்றை −i, 1, i, −1 ஆகியவற்றைக் கொண்டு பதிவிடலாம்:

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,}$

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,}$

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,}$

இதேபோல சுழியற்ற மெய்யெண்களுக்குப் போலவே i க்கும் கீழுள்ளவை உண்மையாகும்:

${\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1\,}$

சிக்கலெண் i இன் கார்ட்டீசிய வடிவம்:

${\displaystyle i=0+i}$ (i இன் மெய்ப்பகுதி சுழியாகவும் கற்பனைப் பகுதி ஒரு அலகாகவும் உள்ளது.)

சிக்கலெண் i இன் போலார் வடிவம்:

i = 1 cis ^π/₂, (i இன் மட்டு மதிப்பு 1 ஆகவும் கோணவீச்சு ^π/₂ ஆகவும் உள்ளது.)

சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதியிலிருந்து ஓர் அலகு தொலைவில் கற்பனை அச்சின் மீது அமையும் புள்ளியாக i இருக்கும்.

iஇன் வர்க்க மூலத்தை கீழுள்ள இரு சிக்கலெண்களில் ஏதாவது ஒன்றாகக் கொள்ளலாம்^{[nb 1]}

${\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$

வலதுபுறத்தை வர்க்கப்படுத்த:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\ \\\end{aligned}}}$

இதே முடிவை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்:

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}$

x = π/2 எனப் பதிலிட,

${\displaystyle e^{i(\pi /2)}=\cos(\pi /2)+i\sin(\pi /2)=0+i1=i\,\!.}$

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண,

${\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm e^{i(\pi /4)}\,\!,}$

ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\pm (\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4))\\&={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+{\frac {i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).\\\end{aligned}}}$

i இன் வர்க்கமூலத்தை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}$

x = 3π/2 எனப் பதிலிட:

${\displaystyle e^{i(3\pi /2)}=\cos(3\pi /2)+i\sin(3\pi /2)=0-i1=-i\,\!.}$

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:

${\displaystyle {\sqrt {-i}}=\pm e^{i(3\pi /4)}\,\!,}$

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {-i}}&=\pm (\cos(3\pi /4)+i\sin(3\pi /4))\\&=-{\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+i{\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {-1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1).\\\end{aligned}}}$

i இன் வர்க்கமூலத்தை i ஆல் பெருக்க, -i இன் வர்க்கமூலம் கிடைக்கும்:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {-i}}=(i)\cdot (\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i))\\&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1i+i^{2})\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1)\\\end{aligned}}}$

பெருக்கல்

எந்தவொரு சிக்கலெண்ணையும் i ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:

${\displaystyle i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai.}$

(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து இடஞ்சுழியாக (எதிர்-கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

வகுத்தல்

i ஆல் வகுப்பது, i இன் தலைகீழியால் பெருக்குவதற்குச் சமானமாகும்:

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i.}$

இம் முடிவை a + bi சிக்கலெண்ணை i ஆல் வகுப்பதில் பயன்படுத்த:

${\displaystyle {\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai.}$

(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து வலஞ்சுழியாக (கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

i இன் அடுக்குகள் கீழுள்ள போக்கில் சுழலும் தன்மை கொண்டுள்ளன (n ஏதேனுமொரு முழு எண்):

${\displaystyle i^{4n}=1\,}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i\,}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i.\,}$

எனவே,

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,}$

${\displaystyle i^{n}=\cos(n\pi /2)+i\sin(n\pi /2)}$

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,

${\displaystyle i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}}$ (${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, முழுஎண்களின் கணம்)

இதன் முதன்மை மதிப்பு ( k = 0): :e^−π/2 அல்லது 0.207879576... (தோராயமாக)^[1]

கற்பனை அலகுi இன் தொடர்பெருக்கம்:

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}$

மேலும்,

${\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh \pi }}}$^[2]

• மின் பொறியியலில் மின்னோட்டத்தின் குறியீடு i(t) அல்லது i எனக் குறிக்கப்படுவதால், குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும் விதமாக கற்பனை அலகு j எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
• பைத்தான் நிரலாக்க மொழியிலும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதியைக் குறிப்பதற்கு j பயன்படுத்தப்படுகிறது.
• மேட்லேப் i, j இரண்டுமே கற்பனை அலகைக் குறிக்கப் பயன்படுத்துகிறது^[3]
• சுட்டெண்கள், கீழெழுத்துக்களில் இருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டும் நோக்கில், சில புத்தகங்களில் கற்பனை அலகைக் குறிக்கக் கிரேக்க எழுத்தான (iota) (ι) பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Chichester: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1.

• Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence பரணிடப்பட்டது 2006-02-12 at the வந்தவழி இயந்திரம்