கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம்

கணிதத்தில் கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம் (Klein four-group) என்பது முடிவுறு குலங்களில் மிக எளிதான ஒரு சிறிய குலம். ஃபெலிக்ஸ் கிளைன் என்பவர் 1884 இல் அறிமுகம் செய்தது. அவர் ஜெர்மானிய மொழியில், நான்குறுப்புக்குலம் என்ற பொருளுள்ள, 'Vierergruppe' என்று பெயர் வைத்து அறிமுகம் செய்ததால், இன்றும் அதற்கு குறியீடு 'V' என்றே வழக்கில் இருக்கிறது. இதை இருபடியக் குலம் (Quadratic Group) என்றும் கூறுவதுண்டு

அதனுடைய கெய்லி அட்டவணை பின்வருமாறு:

*	e	a	b	ab
e	e	a	b	ab
a	a	e	ab	b
b	b	ab	e	a
ab	ab	b	a	e

இது ஒரு பரிமாற்றுக் குலம். முற்றொருமை e ஐத்தவிர இதர மூன்று உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் கிரமம் 2. அதாவது a² = e, b² = e, (ab)² = e.

ஓர் எளிதான முறையில் இன்னொருவிதமாகவும் இக்குலத்தைக் காணமுடியும்.

'மாடுலோ 8' பெருக்கலை செயலியாக வைத்துக்கொண்டு, {1,3,5,7} என்ற கணத்தில் செயல்பட்டால், நமக்குக் கிடைப்பதும் மேலே கூறிய நான்குறுப்புக்குலம் தான். ஏனென்றால்,

3² = 1(mod 8) = 5² = 7²; 3 x 5 = 7(mod 8).

ஒரு நீள் சதுரத்தையோ அல்லது சரியான சதுரத்தையோ, கிடைக்கோட்டில் ஒரு பிரதிபலிப்பு, நெடுக்கோட்டில் ஒரு பிரதிபலிப்பு, மற்றும் 180 சுழியளவில் ஒரு சுற்றல், ஆகிய இம்மூன்று செயலிகளுக்கு உட்படுத்தினால், இதே நான்குறுப்புக்குலம் தான் கிட்டும். நான்கு கோண உச்சிகளை 1, 2, 3, 4 என்ற வரிசையில் பெயரிட்டால் இம்மூன்று செயலிகளையும், கீழ்வரும் வரிசைமாற்றங்களால் குறிப்பிடலாம்:

((1,3)(2,4)), ((1,2)(3,4)), ((1,4)(2,3)).

ஆக, இம்மூன்றும், முற்றொருமை ((1)(2)(3)(4)) உடன் கூடி, கிளைன் நான்குறுப்புக்குலமாகிறது.