சுழிவு (கணிதம்)

This இக்கட்டுரை தனித்து விடப்பட்டக் கட்டுரை. வேறு எந்தக் கட்டுரையும் இக்கட்டுரையை இணைக்கவில்லை. தொடர்புடைய கட்டுரைகளுடன் இக்கட்டுரையை தயவு செய்து இணைக்கவும்; மற்றக் கட்டுரைகளுடன் இணைப்பதற்காக இணைப்பைத் தேடும் கருவியை பரிந்துரைக்காக பயன்படுத்திப் பாருங்கள்.

கணிதத்தில் ஒரு செயலியின் சுழிவு அல்லது சுழிவெளி (Null space) என்பது அச்செயலி வழியாக சூனியத்திற்கு எடுத்துச்செல்லப்படும் எல்லா உறுப்புகளின் கணமாகும். இதை உட்கரு (kernel) என்றும் சொல்வதுண்டு.

செயலி ஒரு நேரியல் செயலியாக இருக்கும் பட்சத்தில்,சுழிவெளி ஒரு திசையன் வெளியின் உள்வெளியாக இருக்கும். சுழிவெளியை சூனியத்திசையன்வெளியுடன் குழப்பிக்கொள்ளக்கூடாது. சூனியத் திசையன் வெளி என்பது சூனியத் திசையன் ஒன்றை மட்டும் கொண்ட ஒரு வெளி. சுழிவெளி எப்பொழுதும் சூனியத்தையும் உள்ளடக்கி இருக்கும்.

• ${\displaystyle f(x,y)=x-y}$. இங்கு ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ இரண்டும் மெய்யெண்கள்.

இது ஒரு நேரியல் கோப்பு.

இதனுடைய சுழிவு = { ${\displaystyle (x,x}$) | ${\displaystyle x}$ ஒரு மெய்யெண் }.

இது ஒரு நேர்கோடு ${\displaystyle y=x}$

• ஒரு நேரியல் வெளியில் ${\displaystyle x_{0}}$ என்ற ஒரு குறிப்பிட்ட திசையனை எடுத்துக்கொள்வோம்.

${\displaystyle f:x\rightarrow x\centerdot x_{0}}$

இது ஒரு நேரியல் கோப்பு. இதனுடைய சுழிவெளி ${\displaystyle x_{0}}$ க்கு செங்குத்தாக உள்ள எல்லா திசையன்களின் கணம்.

${\displaystyle X}$ ம் ${\displaystyle Y}$ ம் திசையன்வெளிகள். ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ ஒரு நேரியல் கோப்பு. ${\displaystyle A}$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருந்தால், இருந்தால்தான்,${\displaystyle A}$ யின் சுழிவெளி சூனியத்திசையன்வெளியாக இருக்கும்.

A என்ற மெய்யெண் அணியை ஒரு ${\displaystyle \mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$ நேரியல் செயலியாகக்கொள்ளலாம். அதனுடைய சுழிவெளிக்கு ${\displaystyle A}$ யின் சுழிவு (Null Space) எனப் பெயர். இது ${\displaystyle \mathbf {R} }$ இன் ஒரு உள்வெளி. இதனுடைய பரிமாணம் ${\displaystyle A}$ யின்சுழிவளவை (Nullity) எனப் பெயர் பெறும்.

இதைக்கணிப்பதற்கு சுருக்கமான வழி: A யின் குறுவரிசைப்படியைக் (row-reduced echelon form) கணிக்கவும். அதனில் படிகளில்லா நிரல்களின் எண்ணிக்கை தான் சுழிவளவை.

வீச்சளவை சுழிவளவை தேற்றம்: ஒரு அணியின் அளவையையும் அதன் சுழிவளவையும் கூட்டினால் வரும் எண்ணிக்கை அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கையே.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&1&-1&1\\1&0&1&-1&1\\12&2&8&0&2\end{bmatrix}}.\!\,}$

இதனுடைய குறுவரிசைப்படி:

${\displaystyle E={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&4&-3\\0&0&1&-1&1\end{bmatrix}}.\!\,}$

${\displaystyle Av=0\Longleftrightarrow Ev=0}$

${\displaystyle v=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})^{T}}$ என்று கொண்டால், ${\displaystyle x_{1}=0,x_{2}=-4x_{4}+3x_{5},x_{3}=x_{4}-x_{5}}$

இந்த எல்லா ${\displaystyle v}$-திசையன்களும் சேர்ந்ததுதான் ${\displaystyle A}$ யின் சுழிவு. அது இரு பரிமாணமுள்ளது.இந்த சுழிவெளியின் அடுக்களம்

{${\displaystyle (0,-4,1,1,0)^{T},(0,3,-1,0,1)^{T}}$}.

அ-து, A யின் சுழிவெளி = ${\displaystyle [(0,-4,1,1,0)^{T},(0,3,-1,0,1)^{T}]}$

${\displaystyle n}$ மாறிகளில் ${\displaystyle m}$ நேரியல் ஒருங்கமைச்சமன்பாடுகள் இருந்தால் அந்தத்திட்டத்தை ${\displaystyle Ax=v}$ என்ற அணிச் சமன்பாடாக எழுதலாம்.

${\displaystyle Ax=v.}$ இதனுடைய ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு ${\displaystyle u_{0}}$ என்றும், A யினுடைய சுழிவெளி U என்றும் கொள்வோம். அப்பொழுது, ${\displaystyle u_{0}+U}$ எல்லா தீர்வுகளையும் கொடுக்கும். ஏனென்றால்,

முதலில், ${\displaystyle w\in u_{0}+U}$ என்று கொள். அ-து, ${\displaystyle w=u_{0}+u}$, இங்கு ${\displaystyle u\in U.}$

${\displaystyle \therefore Aw=A(u_{0})+A(u)=v+0=v}$

இரண்டாவதாக, ${\displaystyle Aw=v}$ ஆக இருக்கும்படி ஒரு ${\displaystyle w}$ இருந்தால், ${\displaystyle w=(w-u_{0})+u_{0}}$ . இதனால்,${\displaystyle w-u_{0}\in U}$; ஏனென்றால்,${\displaystyle A(w-u_{0})=Aw-Au_{0}=0}$. ஆக, ${\displaystyle w}$ என்ற தீர்வு, ${\displaystyle u_{0}+U}$ வில் உள்ளது.

• Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-96205-0.
• V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 81-85095-15-9