தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறை

கணிதத்தில் தகுவகுஎண்களின்கூட்டுத் தொடர்முறை (aliquot sequence) என்பது நேர் முழுஎண்களைக் கொண்ட ஒரு தொடர்முறை. இத்தொடர்முறையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதன் முந்தைய உறுப்பின் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும். தொடர்முறையின் உறுப்பு 1 ஆக வந்தவுடன் தொடர்முறை அத்துடன் முடிந்துவிடும். ஏனென்றால் 1 இன் தகு வகுஎண்களின் கூடுதல் 0.

வரையறை

இத்தொடர்முறையின் முதல் உறுப்பு நேர் முழுஎண் k எனில், அதன் மற்ற உறுப்புகள் வகுஎண்களின் கூட்டுச் சார்பு σ₁ அல்லது தகு வகுஎண் கூட்டுச்சார்பு s ஐக் கொண்டு கீழ்வருமாறு பெறலாம்:^[1]

s₀ = k

s_n = s(s_n−1) = σ₁(s_n−1) − s_n−1, s_n−1 > 0,

s(0) வரையறுக்கப்படவில்லை.

எடுத்துக்காட்டு:

10 இன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறை: 10, 8, 7, 1, 0

σ₁(10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8,

σ₁(8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7,

σ₁(7) − 7 = 1,

σ₁(1) − 1 = 0.

பல தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறைகள் 0 வில் முடிந்துவிடும். அத்தகைய தொடர்முறைகளில் 0 க்கு முந்தைய உறுப்பு 1 ஆகவும், அதற்கு முந்தைய உறுப்பு ஒரு பகா எண்ணாகவும் இருக்கும். 75 வரையிலான அத்தகைய எண்களின் பட்டியலை (OEIS-இல் வரிசை A080907) இல் காணலாம்.

பல்வேறு வகையான தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறைகள் முடிவுறாதவையாகவும் உள்ளன:

ஒரு நிறைவெண்ணின் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறையானது '1' நீளங்கொண்ட மீளும்தொடர்முறையாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, '6' ஒரு நிறைவெண். இதன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை: 6, 6, 6, 6, ...
ஒரு நட்பெண்ணின் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை நீளம் '2' கொண்ட மீளும் தொடர்முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக, '220' ஒரு நட்பெண். அதன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை: 220, 284, 220, 284, ...
ஒரு இணக்க எண்ணின் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை நீளம் '3' கொண்ட மீளும் தொடர்முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக, '1264460' ஒரு இணக்க எண். அதன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை: 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ...
நிறைவெண்கள், நட்பு எண்கள், இணக்க எண்கள் ஆகியனவாக இல்லாத சில எண்களின் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை, இறுதியில் மீளும் தொடர்முறைகளாக அமையும். எடுத்துக்காட்டாக 95 ஆனது அத்தகையதொரு எண்ணாகவுள்ளது. 95 இன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை: 95, 25, 6, 6, 6, 6, ... இவ்வாறு நிறைவெண்களல்லாத ஆனால் நீளம் '1' கொண்ட தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறைகொண்ட எண்கள் "விழையும் எண்கள்" (aspiring numbers) என அழைக்கப்படுகின்றன.^[2]

தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை: 0 - 47
$n$	தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை $n$	நீளம் (வார்ப்புரு:Oeis)
0	0	1
1	1, 0	2
2	2, 1, 0	3
3	3, 1, 0	3
4	4, 3, 1, 0	4
5	5, 1, 0	3
6	6	1
7	7, 1, 0	3
8	8, 7, 1, 0	4
9	9, 4, 3, 1, 0	5
10	10, 8, 7, 1, 0	5
11	11, 1, 0	3
12	12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8
13	13, 1, 0	3
14	14, 10, 8, 7, 1, 0	6
15	15, 9, 4, 3, 1, 0	6
16	16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	7
17	17, 1, 0	3
18	18, 21, 11, 1, 0	5
19	19, 1, 0	3
20	20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	8
21	21, 11, 1, 0	4
22	22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	7
23	23, 1, 0	3
24	24, 36, 55, 17, 1, 0	6
25	25, 6	2
26	26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8
27	27, 13, 1, 0	4
28	28	1
29	29, 1, 0	3
30	30, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	16
31	31, 1, 0	3
32	32, 31, 1, 0	4
33	33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	7
34	34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	9
35	35, 13, 1, 0	4
36	36, 55, 17, 1, 0	5
37	37, 1, 0	3
38	38, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	8
39	39, 17, 1, 0	4
40	40, 50, 43, 1, 0	5
41	41, 1, 0	3
42	42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	15
43	43, 1, 0	3
44	44, 40, 50, 43, 1, 0	6
45	45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8
46	46, 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	9
47	47, 1, 0	3

கேதலான்-டிக்சன் ஊகம்

கேதலான்-டிக்சன் ஊகம் என்பது, தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறை குறித்த முக்கியமான ஊகமாகும். இதன்படி ஒவ்வொரு தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையும் கீழுள்ள எண்களில் ஏதாவது ஒன்றைக்கொண்டு முடிவடையும்: பகா எண், நிறைவெண் அல்லது நட்பு எண்கள் அல்லது இணக்க எண்கள்.^[3] இதற்கு மாற்றான கூற்றாக, "முடிவடையாத ஆனால் மீளாத தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையைக் கொண்டுள்ள எண்கள் உள்ளன" என்பதைக் கொள்ளலாம். இன்னமும் முழுமையாக கண்டறியப்படாத தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறைகளையுடைய பல எண்களுள் ஒன்று இத்தகைய எண்ணாக இருக்கலாம். கணிதவியலாளர்கள் ரிச்சர்டு கே. கை மற்றும் ஜான் செல்ப்ரிட்ஜு இருவரும் கேதலன்-டிக்சன் ஊகம் தவறென்றும் வரம்பற்ற அதாவது முடிவேயில்லாத தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறைகள் உள்ளதாகவும் கருதுகின்றனர்^[4]

ஏப்பிரல் 2015 வரையிலான நிலைப்படி, 100,000 க்குக் கீழுள்ள நேர்ம முழுவெண்களில் 898 எண்களும், 1,000,000 க்குக் கீழ் 9190 எண்களும் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறைகள் முழுமையாகக் கண்டுபிடிக்கப்பாமல் உள்ளன.^[5]

குறிப்புகள்

↑ Weisstein, Eric W., "Aliquot Sequence", MathWorld.
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A063769 (Aspiring numbers: numbers whose aliquot sequence terminates in a perfect number.)". நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியம். நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சிய அறக்கட்டளை.
↑ Weisstein, Eric W., "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture", MathWorld.
↑ A. S. Mosunov, What do we know about aliquot sequences?
↑ Creyaufmüller, Wolfgang (April 29, 2015). "Aliquot Pages". Retrieved June 14, 2015.

மேற்கோள்கள்

Manuel Benito; Wolfgang Creyaufmüller; Juan Luis Varona; Paul Zimmermann. Aliquot Sequence 3630 Ends After Reaching 100 Digits பரணிடப்பட்டது 2004-10-15 at the வந்தவழி இயந்திரம். Experimental Mathematics, vol. 11, num. 2, Natick, MA, 2002, p. 201-206.
W. Creyaufmüller. Primzahlfamilien - Das Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich 1 bis 3000 im Detail. Stuttgart 2000 (3rd ed.), 327p.