நாற்கரம் -ABCD. வடிவவியலில் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்ப்பாடு (Bretschneider's formula ) என்பது ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு.
இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு:[ 1] [ 2] [ 3]
K
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}.}
இங்கு a , b , c , d – நாற்கரத்தின் பக்கங்கள், s -நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு , மற்றும்
α
{\displaystyle \alpha \,}
γ
{\displaystyle \gamma \,}
கோணங்கள் . எதிரெதிர்க் கோணங்கள்
β
{\displaystyle \beta \,}
δ
{\displaystyle \delta \,}
α
+
β
+
γ
+
δ
=
360
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =360}
c
o
s
(
θ
)
=
c
o
s
(
360
−
θ
)
{\displaystyle cos(\theta )=cos(360-\theta )}
பிரெட்ஷ்ணைடர் வாய்பாடு, எந்தவொரு நாற்கரத்திற்கும் பொருந்தும். இந்த வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு நாற்கரங்கள் வட்ட நாற்கரங்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.
1842 -ல், ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் கார்ல் ஆண்டன் பிரெட்ஷ்ணைடர் இந்த வாய்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். அதே ஆண்டில் மற்றொரு ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் கார்ல் ஃவான் ஸ்டாட்டும் இதனைக் கண்டுபிடித்தார்.
நாற்கரத்தின் பரப்பை K எனக் குறித்தால்:
K
=
area of
△
A
D
B
+
area of
△
B
D
C
=
a
d
sin
α
2
+
b
c
sin
γ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}K&={\text{area of}}\triangle ADB+{\text{area of}}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}
2
K
=
a
d
sin
α
+
b
c
sin
γ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}2K=ad\sin \alpha +bc\sin \gamma .\end{aligned}}}
வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):
4
K
2
=
(
a
d
)
2
sin
2
α
+
(
b
c
)
2
sin
2
γ
+
2
a
b
c
d
sin
α
sin
γ
.
{\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,}
கொசைன் விதிப்படி :
B
D
2
=
a
2
+
d
2
−
2
a
d
cos
α
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
γ
,
{\displaystyle BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,}
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
=
2
a
d
cos
α
−
2
b
c
cos
γ
,
{\displaystyle a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}=2ad\cos \alpha -2bc\cos \gamma ,\,}
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
2
=
a
d
cos
α
−
b
c
cos
γ
,
{\displaystyle {\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2}}=ad\cos \alpha -bc\cos \gamma ,\,}
வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
4
=
(
a
d
)
2
cos
2
α
+
(
b
c
)
2
cos
2
γ
−
2
a
b
c
d
cos
α
cos
γ
.
{\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .\,}
(1), (2) இரண்டையும் கூட்ட:
4
K
2
+
(
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
)
2
4
=
(
a
d
)
2
+
(
b
c
)
2
−
2
a
b
c
d
⋅
cos
(
α
+
γ
)
.
{\displaystyle 4K^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma ).\,}
16
K
2
=
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
)
2
+
4
(
a
d
)
2
+
4
(
b
c
)
2
−
8
a
b
c
d
⋅
cos
(
α
+
γ
)
.
{\displaystyle 16K^{2}=-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}+4(ad)^{2}+4(bc)^{2}-8abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma ).\,}
16
K
2
=
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
)
2
+
4
(
a
d
)
2
+
4
(
b
c
)
2
−
8
a
b
c
d
⋅
(
2
cos
2
(
α
+
γ
2
)
−
1
)
.
{\displaystyle 16K^{2}=-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}+4(ad)^{2}+4(bc)^{2}-8abcd\cdot (2\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)-1).\,}
16
K
2
=
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
)
2
+
4
(
a
d
)
2
+
4
(
b
c
)
2
+
8
a
b
c
d
−
16
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle 16K^{2}=-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}+4(ad)^{2}+4(bc)^{2}+8abcd-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\,}
16
K
2
=
(
2
(
a
d
)
+
2
(
b
c
)
)
2
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
)
2
−
16
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle 16K^{2}=(2(ad)+2(bc))^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\,}
இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
16
K
2
=
(
a
+
b
+
c
−
d
)
(
a
+
b
+
d
−
c
)
(
a
+
c
+
d
−
b
)
(
b
+
c
+
d
−
a
)
−
16
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\displaystyle 16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}
அரைச்சுற்றளவு:
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
,
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}
(
b
+
c
+
d
−
a
)
=
2
(
s
−
a
)
{\displaystyle (b+c+d-a)=2(s-a)}
(
a
+
c
+
d
−
b
)
=
2
(
s
−
b
)
{\displaystyle (a+c+d-b)=2(s-b)}
(
a
+
b
+
d
−
c
)
=
2
(
s
−
c
)
{\displaystyle (a+b+d-c)=2(s-c)}
(
a
+
b
+
c
−
d
)
=
2
(
s
−
d
)
{\displaystyle (a+b+c-d)=2(s-d)}
இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட:
16
K
2
=
16
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
16
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle 16K^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
K
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle K^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
வர்க்கமூலம் காண, குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு கிடைக்கிறது:
K
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}.}
முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் ஈரோனின் வாய்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம்தான் வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு . பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட படிவம்தான் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு.
↑ E. A. José García, Two Identities and their Consequences, MATINF, 6 (2020) 5-11. [1]
↑ Coolidge, J. L. (1939). "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral". The American Mathematical Monthly 46 (6): 345–347. doi :10.2307/2302891 . ↑ Hobson, E. W. (1918). A Treatise on Plane Trigonometry 204– 205.
