பெர்மாவின் சிறிய தேற்றம்

ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம் (Fermat's Little Theorem) என்பது கணிதத்தில் எண்கோட்பாட்டுப்பிரிவில் அடிப்படையான முதல் தேற்றம். மற்ற பல பிரிவுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுவது. அது என்ன சொல்கிறதென்றால்,

${\displaystyle n}$ ஒரு முழு எண்ணாகவும், ${\displaystyle p}$ ஒரு பகா எண்ணாகவும் இருந்தால், ${\displaystyle n^{p}-n}$ என்ற எண் ${\displaystyle p}$ ஆல் சரியாக வகுபடும்.

எ.கா.

${\displaystyle 5^{3}-5=120=3\times 40}$

${\displaystyle 2^{11}-2=2046=11\times 186;}$

${\displaystyle 4^{5}-4=1020=5\times 204.}$

ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம் என்று வரலாற்றுப் புகழ் பெற்ற தேற்றம், வேறு ஒன்று. அதனிலிருந்து பிரித்துக் காட்டுவதற்குத்தான் மேலேயுள்ள தேற்றம் சிறிய தேற்றம் என வழங்குகிறது.

சிறிய தேற்றம் என்று பெயரிருந்தாலும் இதன் கீர்த்தி பெரிதாகையால் இதற்கு மூன்று வித நிறுவல்களைக் கீழே பார்க்கலாம்.

இந்நிறுவல் உய்த்தறிதல் முறையில் செல்லும். ${\displaystyle p|n^{p}-n}$ என்பது தேற்றம். ${\displaystyle n=1}$ க்கு நிச்சயமாக இது உண்மை; ஏனென்றால்,${\displaystyle 1^{p}-1=0,p}$ ஆல் வகுபடுகிறது. இப்பொழுது ${\displaystyle p|n^{p}-n}$ என்பது உண்மையானால்

${\displaystyle p|(n+1)^{p}-(n+1)}$

என்று காட்டவேண்டும்.

${\displaystyle (n+1)^{p}-(n+1)}$

${\displaystyle =n^{p}-n+\sum _{i=1}^{i=(p-1)}{\begin{pmatrix}p\\i\end{pmatrix}}}$

இது ${\displaystyle p}$ ஆல் வகுபடுகிறது; ஏனென்றால், உய்த்தறிதல் கருதுகோளினால் ${\displaystyle n^{p}-n,p}$ ஆல் வகுபடுகிறது; மற்றும், ஒவ்வொரு ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p\\i\end{pmatrix}}}$ ம் ${\displaystyle p}$ ஆல் வகுபடுகிறது.

இந்நிறுவல் எண்களின் சமான உறவுக் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறது.முதலில் உ.பொ.கா(n,p) = 1 என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,

${\displaystyle n,2n,3n,...,(p-1)n}$ (*)

என்ற தொடரைப் பார். இதனில் எந்த இரண்டு உறுப்புகளும் மாடுலோ ${\displaystyle p}$ சமானமல்ல; ஏனென்றால்,

${\displaystyle i\times n\equiv k\times n(modp)}$ என்றால் ,

${\displaystyle i\equiv k(modp)}$ ; அ-து, ${\displaystyle i=k}$

இதனால் (*) இலுள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் ${\displaystyle 1,2,3,...,(p-1)}$ இல் வெவ்வேறு எண்களுக்கு, அதுவும் ஒரே ஒரு எண்ணுக்கு சமானமாக இருக்கும். இந்த சமானங்களின் பெருக்குத்தொகை

${\displaystyle n^{p-1}.1.2.....(p-1)\equiv 1.2.3....(p-1)(modp)}$

${\displaystyle (p-1)!}$ ம் ${\displaystyle p}$ ம் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்களாதலால் நமக்குக் கிடைப்பது

${\displaystyle n^{p-1}\equiv 1(modp)}$

இதிலிருந்து, ${\displaystyle n^{p}\equiv n(modp).}$

இந்நிறுவல் சேர்வியல் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துவது. ${\displaystyle p}$ மணிகள் கொண்ட மணிமாலைகளைக்கணக்கிடுவோம். ஒவ்வொரு மணியும் ${\displaystyle n}$ நிறங்களில் கிடைப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். இவைகளைக்கொண்டு நாம் ${\displaystyle n^{p}}$ மாலைகள் உண்டாக்கலாம். அவைகளில் எல்லா மணிகளும் ஒரே நிறமாக உள்ள மாலைகளின் எண்ணிக்கை ${\displaystyle n}$. மீதமுள்ள ${\displaystyle n^{p}-n}$ மாலைகளைப் பார்ப்போம். இவைகளில் ஒவ்வொன்றும் அவைகளைப் போலவே உள்ள மற்ற சில மாலைகளின் சுழல்மாற்றம் தான். சுழல்மாற்றத்தின் மூலம் ஒன்றுக்கொன்று சமானமாக இருக்கக்கூடிய மாலைகளின் எண்ணிக்கை ${\displaystyle p}$. இதனால்(சுழல் சமான மில்லாத) தனித்துவம் வாய்ந்த மாலைகளின் எண்ணிக்கை

${\displaystyle (n^{p}-n)\div p.}$

இது ஒரு முழு எண்ணாதலால் ${\displaystyle n^{p}-n,p}$ ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

இத்தேற்றத்தின் மறுதலை உண்மையல்ல என்பதற்கு ஒரு மாற்றுக்காட்டு:

${\displaystyle 2^{341}-2=2(2^{340}-1)=2(({2^{10})}^{34}-1^{34})=2(2^{10}-1)(.....)=2.3.341.(....)}$

இதனால் ${\displaystyle 2^{341}-2}$ ஐ 341 சரியாக வகுக்கிறது. ஆனாலும் 341 ஒரு பகா எண்ணல்ல; ஏனென்றால், ${\displaystyle 341=31\times 11.}$

சமான உறவு