வகையிடலின் பெருக்கல் விதி

நுண்கணிதத்தில் வகையிடலின் பெருக்கல் விதி அல்லது பெருக்கல் விதி (product rule) என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகின்ற ஒரு விதியாகும்.

இவ்விதியின் கூற்று:

f , g வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்:

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!}$

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் இவ்விதி:

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}}$.

வகையீடுகளின் குறியீட்டில் இவ்விதியைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}$.

இவ்விதியின்படி மூன்று சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழு:

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}$.

இந்தப் பெருக்கல் விதி லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது (மாற்றுக் கருத்தும் உள்ளது). லைப்னிட்ஸ் இவ்விதியை வகையீடுகளைக் கொண்டு விளக்கியுள்ளார்.

u(x) , v(x) இரு வகையிடக்கூடிய சார்புகள் எனில் uv இன் வகையீடு:

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}$

du·dv மதிப்புத் தவிர்க்கத்தக்க அளவு சிறியதாகையால் அதை விட்டுவிடக் கிடைப்பது,

${\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,\!}$

இது பெருக்கல் விதியின் வகையீட்டு வடிவமாகும்.

dx ஆல் வகுக்க,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}\,\!}$

இதனைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:

${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,\!}$

• வகையிட வேண்டிய சார்பு

${\displaystyle f(x)=x^{2}sinx}$ எனில் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த,

${\displaystyle (f(x))'=sinx(x^{2})'+x^{2}(sinx)'\,\!}$

${\displaystyle =sinx(2x)+x^{2}(cosx)\,\!}$

${\displaystyle =2xsinx+x^{2}cosx\,\!}$

• பெருக்கல் விதியின் ஒரு சிறப்பு வகையாக வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியை அடையலாம்.

பெருக்குத்தொகையில் உள்ள இரு சார்புகளில் ஒன்று மாறிலியாக இருந்தால் பெருக்கல் விதியானது மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாக மாறிவிடும்.

பெருக்கல் விதிப்படி,

${\displaystyle (cf(x))'=c(f(x))'+f(x)(c)'\,\!}$

மாறிலி c இன் வகைக்கெழு பூச்சியம் என்பதால்,

${\displaystyle (cf(x))'=cf'(x)\,\!}$ இது வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாகும்.

பொதுவாக வகையிடும்போது நிகழக்கூடிய ஒரு பிழை (uv) இன் வகைக்கெழுவை (u ′)(v ′) எனக் கருதிவிடுவது ஆகும். லைப்னிட்சுக்கும் இத்தவறு நேர்ந்ததுண்டு^[1] ஆனால் இவ்வாறு உண்மையில் அமையாது என்பதற்கு எளிதாக மாற்று எடுத்துக்காட்டுகளைத் தரமுடியும்.

பெருக்கல் விதியை எல்லைகளின் பண்புகளையும் வகையிடலின் வரையறையும் பயன்படுத்தி நிறுவுதல்.

${\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}$

ƒ , g -என்பவை x இல் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,

${\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}\qquad \qquad (1)}$

இதிலுள்ள ${\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}$ என்பது பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்கும் சிறிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்குமுள்ள வித்தியாசம் ஆகும்.

இவ்விரண்டு செவ்வகங்களுக்கு இடையேயுள்ள பகுதியை இரு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கலாம். இவ்விரு பகுதிகளின் பரப்புகளின் கூடுதல்:^[2]

${\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}$

${\displaystyle \qquad (2)}$ = ${\displaystyle \qquad (3)}$ என்பதால்,

${\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)=f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}\qquad \qquad (4)}$

இதை (1) இல் பயன்படுத்த,

${\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right)\qquad (4)}$

இதிலுள்ள அனைத்து எல்லைகளின் மதிப்பையும் காண முடியும் என எடுத்துக்கொண்டால்,

${\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right)\qquad (5)}$

இப்பொழுது

• ${\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x),}$ ( w → x எனும்போது f(x) மாறுவதில்லை)
• ${\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x),\,}$ (வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் இது உண்மை)
• ${\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}$    and    ${\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}$ (f , g இரண்டும் x இல் வகையிடத்தக்கதாய் இருப்பதால்)

இம்முடிவுகளை (5) இல் பயன்படுத்த,

${\displaystyle h'(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}$ எனவே வகையிடலின் பெருக்கல் விதி நிறுவப்பட்டது.

வேறுபல முறைகளிலும் இவ்விதியை நிறுவ முடியும்.

பெருக்கல் விதியை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்:

• மூன்று சார்புகளுக்கு:

${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}\,\!}$.

• ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ஆகிய k-சார்புகளுக்கு:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}$

பெருக்கல் விதியை இரு சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் n ஆம் வரிசை வகையிடலுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி, பொது லைப்னிட்ஸ் விதி அல்லது லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.

உயர்வரிசை பகுதி வகையிடலுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி:

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}$

மூன்றாம் வரிசைப் பகுதி வகையிடல்:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\\\&{}=u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\\\&{}\qquad +{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}}$

• கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 79. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm பரணிடப்பட்டது 2012-11-20 at the வந்தவழி இயந்திரம்