யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றம்

கணிதத்தின் எண்கோட்பாட்டில் யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றம் (Euclid–Euler theorem) என்பது செவ்விய எண்களை மெர்சென் பகாத்தனிகளுடன் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு தேற்றமாகும். ஓர் இரட்டையெண்ணானது 2^p−1(2^p − 1) (இதில், 2^p − 1 ஒரு பகா எண்) என்ற வடிவில் "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", அந்த இரட்டையெண் ஒரு செவ்விய எண்ணாக இருக்கமுடியும் என இத்தேற்றம் கூறுகிறது. இத்தேற்றத்தில் "இருந்தால்", "இருந்தால் மட்டுமே" எனும் இரு பகுதிகளை முறையே நிறுவிய யூக்ளிடு, ஆய்லர் என்ற இரு கணிதவியலாளர்களின் பெயரால் இத்தேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது.

மெர்சென் பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கை முடிவற்றதென அனுமானிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த அனுமானம் உண்மையா இல்லையா என்பது நிறுவப்படாததாக இருப்பினும், யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றத்தின்படி இரட்டைச் செவ்விய எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவற்றது என்ற அனுமானத்திற்குச் சமானமானதாக அமைகிறது. ஒற்றைச் செவ்விய எண் ஏதாவது ஒன்றாவது உள்ளதா என்பதும் அறியப்படாத ஒன்றாகவே உள்ளது.^[1]

செவ்விய எண்

தனது தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாகவுள்ள இயல் எண்ணானது ஒரு செவ்விய எண் எனப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக 6 ஒரு செவ்விய எண்; ஏனெனில் அதன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை: 1 + 2 + 3 = 6.

மெர்சென் பகாத்தனி

M_p = 2^p − 1 வடிவிலமையும் பகாத்தனிகள். இவ்வடிவிலமையும் எண்கள் பகா எண்களாக இருப்பதற்கு p உம் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் p இன் அனைத்து பகா எண் மதிப்புகளுக்கும், 2^p − 1 ஒரு பகா எண்ணாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக,

2³ − 1 = 7 . இது ஒரு பகா எண்; மேலும் மெர்சென் பகா எண்ணுங்கூட.

ஆனால் 11 ஒரு பகாஎண்ணாக இருந்தாலும்,

2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 பகா எண் அல்ல.

தேற்றத்தின் கூற்று

ஓர் இரட்டையெண்ணானது 2^p−1M_p, (இதில் M_p என்பது மெர்சென் பகாத்தனி) என்ற வடிவில் "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", அந்த இரட்டையெண் ஒரு செவ்விய எண்ணாக இருக்கமுடியும்.^[1]

எடுத்துக்காட்டுகள்:

6, 28 ஆகிய இரு எண்களும் இரட்டைச் செவ்விய எண்களாகவும், அதேசமயம் M_p = 2^p − 1 வடிவில் எழுதக்கூடியவையாகவும் உள்ளதைக் காணலாம்:

2²⁻¹M₂ = 2 × 3 = 6, (மெர்சென் பகாத்தனி M₂ = 2)

2³⁻¹M₃ = 4 × 7 = 28, (மெர்சென் பகாத்தனி M₃ = 7)

வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைச் சார்பானது (σ) ஒரு பெருக்கல் சார்பு என்பதைக்கொண்டு இந்நிறுவல் செயல்படுகிறது; அதாவது, a, b இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள் எனில், σ(ab) = σ(a)σ(b). வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை காணும்போது தகு வகுஎண்களை மட்டுமல்லாமல் அந்த எண்ணையும் சேர்த்துக்கொண்டால்தான் பெருக்கல் சார்பு எனும் கூற்று உண்மையாக இருக்கும். ஒரு எண்ணின் அனைத்து வகு எண்களின் கூட்டுத்தொகைச் சார்பலனானது அவ்வெண்ணின் இருமடங்காக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", அது ஒரு செவ்விய எண்ணாக இருக்கும். ${\displaystyle n}$ ஒரு செவ்விய எண் எனில், ${\displaystyle \sigma (n)=2n}$.

n ஒரு இரட்டை முழுவெண்; மேலும் இது 2^p−1(2^p − 1) என்ற வடிவிலுள்ளது எனில், n ஒரு செவ்விய எண் என நிறுவவேண்டும்.

நிறுவல்

• யூக்ளிடால் ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட இப்பகுதியானது பெருக்கல் சார்பின் பண்பிலிருந்து பெறப்படுகிறது:

• மெர்செனி பகாத்தனியின் பொதுவடிவம்: 2^p − 1, இது ஒரு பகாஎண்.

• வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைச் சார்பானது பெருக்கல் சார்பாதலால்:

${\displaystyle \sigma (n)=\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).}$

இதிலுள்ள முதல் காரணி 2^p−1 இன் வகுஎண்கள் 1, 2, 4, 8, ..., 2^p−1.

இது ஒரு பெருக்குத் தொடர். எனவே இவற்றின் கூட்டுத்தொகை 2^p − 1.

அடுத்து இரண்டாவது காரணி 2^p − 1 ஒரு பகாஎண் (மெர்சென்பகாத்தனி) என்பதால் இதன் வகுஎண்கள் 1, 2^p − 1 மட்டுமே. இவை இரண்டின் கூட்டுத்தொகை 2^p.

• எனவே இவற்றைபெருக்கல் சார்பின் பண்பில் பதிலிட

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (n)=\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1)\\&=2n.\\\end{aligned}}}$$

• அதாவது 2^p−1(2^p − 1) வடிவிலமைந்தை இரட்டை எண் n, ஒரு செவ்விய எண்.^[2][3][4]

n ஒரு இரட்டைச் செவ்விய எண் எனில் n = 2^p−1(2^p − 1) என்ற வடிவிலமையும் என நிறுவ வேண்டும்.

நிறுவல்

n ஆனது, n = 2^kx எனக் காரணிப்படுத்தப்படுகிறது.

இதிலுள்ள இரு காரணிகளில் 2^k ஓர் இரட்டையெண்; எனவே x ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும்.

n ஒரு செவ்விய எண் என்பதால், அதன் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை ${\displaystyle \sigma (n)=2n}$ ஆகும் n = 2^kx எனப் பதிலிட,

${\displaystyle \sigma (2^{k}x)=2.(2^{k}x)=2^{k+1}x}$

${\displaystyle \implies 2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=\sigma (2^{k}).\sigma (x)}$ (வகுஎண் கூட்டுத்தொகைச் சார்பு ஒரு பெருக்கல் சார்பு என்பதால்).

${\displaystyle \sigma (2^{k})}$ ஒரு பெருக்குத் தொடராக இருக்குமென்பதால் பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்கான வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle \sigma (2^{k})=2^{k+1}-1}$

${\displaystyle \implies 2^{k+1}x=(2^{k+1}-1)\sigma (x)}$

(∗)

(∗) இன் வலப்புறமுள்ள ஒரேயொரு ஒற்றைக்காரணி 2^k+1 − 1 ஆனது குறைந்தபட்சம் 3 ஆக இருக்க வேண்டும்; மேலும், இடப்பக்கமுள்ள ஒரேயொரு ஒற்றைக்காரணி x இன் வகுஎண்ணாக 2^k+1 − 1 இருக்கும். எனவே y = x/(2^k+1 − 1) என்பது x இன் ஒரு தகுவகுஎண்.

(∗) இன் இருபுறமும் பொதுக்காரணி 2^k+1 − 1 வகுக்க:

${\displaystyle 2^{k+1}{\frac {x}{2^{k+1}-1}}=\sigma (x)}$

y = x/(2^k+1 − 1) எனப் பதிலிட:

${\displaystyle \implies 2^{k+1}y=\sigma (x)}$ = x இன் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை

${\displaystyle \implies 2^{k+1}y=x+y+}$ x இன் மற்ற வகுஎண்கள்

${\displaystyle \implies 2^{k+1}y=2^{k+1}y+}$ x இன் மற்ற வகுஎண்கள்

இச்சமன் உண்மையாக இருக்கவேண்டுமானால், x இற்கு வேறு வகுஎண்கள் எதுவும் இருக்கமுடியாது; y = 1 ஆகவும் இருக்கவேண்டும்.

y = 1 எனப் பதிலிட x இன் மதிப்பு:

x = 2^k+1 − 1 என்ற பகாஎண்ணாகும்.^[2][3][4]

x இன் இந்த மதிப்பை n = 2^kx இல் பதிலிட:

${\displaystyle n=2^{k}(2^{k+1}-1)}$

${\displaystyle n=2^{(k+1)-1}(2^{k+1}-1)}$

2^p−1(2^p − 1) என்ற வடிவிலமைந்த எண்ணானது, 2^p − 1 ஒரு பகாஎண்ணாக இருக்கும்போதெல்லாம் செவ்விய இரட்டையெண்ணாக இருக்குமென்பதை யூக்ளிடு நிறுவினார். யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்சில் இடம்பெற்ற எண் கோட்பாடு குறித்த இறுதி முடிவாக இது காணப்படுகிறது. எலிமென்ட்சில் பின்னர் இடம்பெற்றவையெல்லாம் விகிதமுறா எண்கள், திண்மங்கள், பொன் விகிதம் ஆகியவை பற்றியதாக உள்ளன.

இம்முடிவை யூக்ளிடு பின்வருமாறு குறிப்பிடுகிறார்:

முதல் உறுப்பு 1; பொதுவிகிதம்  2 உடைய ஒரு முடிவுறு பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை q என்ற பகா எண்ணாக இருக்குமானால், இக்கூட்டுத்தொகை q, பெருக்குத்தொடரின் கடைசி உறுப்பு t ஆகிய இரண்டின் பெருக்கற்பலனாகக் கிடைக்கும் எண்ணானது ஒரு செவ்விய எண்ணாக இருக்கும்.

யூக்ளிடின் நிறுவல்

பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்கான வாய்பாட்டின்படி ,

q = 2^p − 1, ஒரு மெர்சென் பகாஎண்;

மேலும் பெருக்குத்தொடரின் கடைசி உறுப்பு:

t =2^p−1

அடுத்து, முதல் உறுப்பு = q; பொதுவிகிதம்  2 எனவும் அதே எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளையும் கொண்ட மற்றொரு பெருக்குத்தொடரானது மூலப் பெருக்குத்தொடருடன் விகிதசமமாக இருப்பதை யூக்ளிடு நிறுவினார்.

இப்போது, மூலப் பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை q = 2t − 1 என்பதால், இரண்டாவது பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை q(2t − 1) = 2qt − q ஆகும்.

இவ்விரு பெருக்குத்தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைகளைக் கூட்டினால் 2qt கிடைக்கிறது.

இது அனுமானிக்கப்பட்ட செவ்விய எண் qt இன் இருமடங்காக உள்ளது.

q ஒரு பகாஎண்ணாதலால், இரு தொடர்களும் பொதுவுறுப்புகளற்றவை;

மேலும் qt இன் அனைத்து வகுஎண்களும் இவ்விரு தொடர்களின் மொத்த உறுப்புகளாக அமைகின்றன.

எனவே qt இன் அனைத்து வகுஎண்களின் கூடுதலானது, இவ்விரு பெருக்குத்தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைகளின் கூடுதலான 2qt ஆக இருக்கும்.

அதாவது ${\displaystyle \sigma (qt)=2(qt)}$

இதுவே செவ்விய எண்ணுக்கான வரையறையாதலால்,

qt = (2^p − 1)(2^p−1) ஒரு செவ்விய எண்ணாகும்.^[5]

யூக்ளிடின் காலத்திற்கு பல்லாயிரம் ஆண்டுகளுக்குப் பின்னர், இபின் அல் ஹய்தம் அண். 1000 CE ஒவ்வொரு செவ்விய இரட்டையெண்ணும் 2^p−1(2^p − 1) (2^p − 1 ஒரு பகா எண்), என்ற வடிவிலமையும் என்ற அனுமானத்தை வெளியிட்டார். ஆனால் அவரால் அதனை நிறுவ இயலவில்லை. ^[6] யூக்ளிடுக்குப் பின்னர் 2000 ஆண்டுகள் கழித்தும் 18 ஆம் நூற்றாண்டுவரை இதற்கான நிறுவல் பெறப்படவில்லை.^[7]

அதன் பின்னர் 2^p−1(2^p − 1) என்ற வாய்பாடு அனைத்து இரட்டைச் செவ்விய எண்களையும் தருமென்பதை, லியோனார்டு ஆய்லர் நிறுவினார். ஆய்லரின் நிறுவல் மிகவும் சுருக்கமானது.^[1][8] இதனால் செவ்விய எண்களுக்கும் மெர்சென் பகாஎண்களுக்கும் இடையே ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்புள்ளது என்பது உறுதியானது. ஆய்லர் இத்தேற்றத்தை நிறுவியதன் பின்னர், விக்டர்-அமெதீ லெபெசுகு, இராபர்ட் தானியேல் கார்மைக்கல், லியோனார்டு ஆய்கென் டிக்சன், வேய்னெ எல். மெக்தானியேல் உள்ளிட்ட பல கணிதவியலாளர்கள் இத்தேற்றத்துக்கான மாற்று நிறுவல்களை வெளியிட்டனர். இவற்றுள் டிக்சனின் நிறுவல், பொதுவாகப் பல பாடநூல்களில் பின்பற்றப்படுகிறது.^[9]

இத்தேற்றம் 1999 இலிருந்து, "சிறந்த 100 கணிதத் தேற்றங்களின்" இணையப் பட்டியலில் இடப்பெற்றுள்ளது. பின்னர் கணினியியலில் "நிறுவல் உதவிகளின்" திறமையைச் சோதித்தறியும் "திட்டஅளவி"யாக பிரீக் வியடிஜ்க் என்பவரால் பயன்படுத்தப்பட்டது. 2024 இல் யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றத்தின் நிறுவலானது, வியடிஜ்க்கால் பதிவுசெய்யப்பட்ட 12 "நிறுவல் உதவி"களில் 7 இல் முறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.^[10]