Геометрик прогрессия

Геометрик прогрессия — ${\displaystyle b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ \ldots }$ саннарының (прогрессия әгъзалары) эзлеклелеге, прогрессиянең һәр киләсе әгъзасы элекке әгъзасы һәм билгеләнгән сан ${\displaystyle q\quad }$ (прогрессия ваклаучысы) тапкырчыгышына тигез: ${\displaystyle b_{1}\not =0}$, ${\displaystyle q\not =0}$: ${\displaystyle b_{1},\ b_{2}=b_{1}q,\ b_{3}=b_{2}q,\ \ldots ,\ b_{n}=b_{n-1}q}$

Геометрик прогрессиянең һәр әгъзасы түбәндәге тигезләмәдә исәпләнә:

${\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}\quad }$

• ${\displaystyle b_{1}>0}$ һәм ${\displaystyle q>1}$ булган очракта прогрессия артучы эзлеклелек дип атала
• ${\displaystyle 0<q<1}$ булган очракта прогрессия кимүче эзлеклелек дип атала
• ${\displaystyle q<0}$ булган очракта прогрессия алмаш тамгалы эзлеклелек дип атала

Прогрессия геометрик дип йөртелә, чөнки аның төп үзлеге:

${\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}$

ягъни һәр әгъзасы аның күршеләренең уртача геометрик зурлыгына тигез.

• Геометрик прогрессия әгъзаларыннан логарифмнар арифметик прогрессияне төзи.
• ${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}$, ${\displaystyle 1<i<n}$ өчен

• тапкырчыгышлар:

  ${\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}}$.

  ${\displaystyle P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}}$.

• Геометрик прогрессиянең ${\displaystyle n}$ әгъзалары суммасы:

${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}(1-q^{n})}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}$

• Әгәр ${\displaystyle \left|q\right|<1}$ булса: ${\displaystyle n\to +\infty }$ өчен ${\displaystyle b_{n}\to 0}$

һәм

• ${\displaystyle n\to +\infty }$ өчен ${\displaystyle S_{n}\to {b_{1} \over 1-q}}$

• Геометрическая прогрессия на mathematics.ru
• Геометрическая прогрессия — статья из Большой советской энциклопедии (3-е издание).
• Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.