Набла операторы

Набла операторы (Һамилтон операторы) — вектор дифференциаль операторы, аның компонентлары координаталар буенча аерым чыгарылмага тигез.

Набла ${\displaystyle \nabla }$ символы белән билгеләнә, Юникодта U+2207, ∇.

Өч үлчәмле Евклид фәзасында турыпочмак Декарт координатларында набла операторы болай билгеләнә:

${\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}}$,

биредә ${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}$ — ${\displaystyle x,y,z}$ күчәрләре буенча берәмлекле векторлар.

Набла операторы ярдәмендә вектор анализының төп гамәлләре тасвирлана: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), шулай ук Лаплас операторы.

Физикада һәм математикада киң кулланыла.

n-үлчәмле набла операторы n-үлчәмле фәзада билгеләнә:

${\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x_{1}}{\vec {e}}_{1}+{\partial \over \partial x_{2}}{\vec {e}}_{2}+...+{\partial \over \partial x_{n}}{\vec {e}}_{n}}$,

биредә ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}}$ — берәмлекле векторлар

Набла операторы ${\displaystyle \nabla }$ һәм ${\displaystyle \phi }$ функциясе скаляр тапкырчыгышы градиентка тигез (вектор):

${\displaystyle \nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi }$,

Набла операторы ${\displaystyle \nabla }$ һәм ${\displaystyle {\vec {a}}}$ векторы скаляр тапкырчыгышы дивергенциягә тигез (скаляр):

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}=\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {a}}}$,

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {a}}}$ шулай ук ${\displaystyle (\nabla ,{\vec {a}})}$ дип языла

Набла операторы ${\displaystyle \nabla }$ һәм ${\displaystyle {\vec {a}}}$ векторы вектор тапкырчыгышы роторга тигез (вектор):

${\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a_{z}} \over \partial y}-{\partial {a_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a_{x}} \over \partial z}-{\partial {a_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a_{y}} \over \partial x}-{\partial {a_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {a}}}$

${\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}}$ шулай ук ${\displaystyle [\nabla ,{\vec {a}}]}$ дип языла

Набла операторлары ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$ скаляр тапкырчыгышы Лаплас операторы (скаляр операторы) дип атала., ул ${\displaystyle \ \Delta }$ дип билгеләнә. Декарт координатларында болай билгеләнә:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}$.

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } (\phi \psi )=\mathbf {\nabla } (\phi \psi )=\psi \mathbf {\nabla } \phi +\phi \mathbf {\nabla } \psi =\psi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi +\phi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\psi }$

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi =\Delta \phi }$

Скаляр һәм вектор тапкырчыгышлары вариантлары 7 төрле икенче буын операторга китерә:

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)}$

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } \,(\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})}$

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\nabla ^{2}{\vec {v}}}$

Яссы кырлар өчен әлеге операторлар бәйсез түгел:

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f=0}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

${\displaystyle (\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}}))=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}}$

Берсе векторлар тензор тапкырчыгышы ярдәмендә языла:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})}$

Набла операторы гади вектордан аерылып тора, мәсәлән әлеге оператор векторлар белән коммутатив булмый:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}\neq {\vec {v}}\cdot \nabla }$,

1. ${\displaystyle z=xy,\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=y{\vec {i}}+x{\vec {j}}}$
2. ${\displaystyle z=30yx^{3},\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}}$

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.