Єгипетська геометрія

Єгипетська геометрія відноситься до геометрії, яка була розроблена і використовувалася в Стародавньому Єгипті. Їхня геометрія була прямим результатом геодезії, яка використовувалася для підтримки розмежування та власності на сільськогосподарські землі, які щорічно затоплювались річкою Ніл^[1].

Із стародавнього Єгипту до нас дійшла лише обмежена кількість задач, пов'язаних із геометрією. Геометричні задачі зустрічаються як у московському математичному папірусі (ММП), так і в математичному папірусі Райнда (МПР). Ці приклади демонструють, що стародавні єгиптяни вміли обчислювати площі кількох геометричних фігур, об'єми циліндрів і пірамід.

Стародавні єгиптяни описували свої задачі в кількох частинах. Вони давали назву та дані для конкретної задачі, у деяких текстах вони показували, як розв'язати задачу, а на останньому кроці перевіряли коректність розв'язку задачі. Писарі не використовували жодних змінних, а задачі записували у прозовій формі. Рішення були написані поетапно, з описом процесу. Використання єгипетських одиниць вимірювання довжини засвідчено в період раннього царства. Палермський камінь, хоча й відноситься до 5-ї династії, зафіксував рівень річки Ніл під час правління фараона раннього царства Джера, як 6 ліктів і 1 долоня (приблизно 3,217 м)^[2]. Діаграма часів третьої династії показує, як побудувати кругле склепіння, використовуючи розміри тіла вздовж дуги. Якщо площа квадрата дорівнює 434 одиниці, площа кола дорівнює 433,7 одиниці.

Остракон із зображенням цієї діаграми^[en] був знайдений біля східчастої піраміди в Саккарі. Криву поділено на п'ять частин, а висоту кривої вказано в ліктях, долонях і цифрах у кожній із секцій^[3][4].

У якийсь момент довжина була стандартизована ліктьовими^[en] стрижнями. Приклади були знайдені в гробницях чиновників, де вказані довжини до ременів. Царські лікті використовували для вимірювання землі, наприклад доріг і полів. Чотирнадцять стрижнів, у тому числі один дволіктьовий, були описані та порівняні Лепсіусом^[5]. Відомі два приклади з гробниці Мая, скарбника Тутанхамона в Саккарі.

Інший приклад було знайдено у гробниці Кха (TT8^[en]) у Фівах. Ці «лікті» мають 52,5 см (20,7 дюйм) у довжину і поділяються на «долоні» та «кисті»: кожна долоня ділиться на чотири «пальці» зліва направо, а «пальці» далі поділяються на «ро» справа наліво. Стрижні також поділяються на «кисті»^[6] так що, наприклад, одна «ступня» вказується як три «кисті» та п'ятнадцять «пальців», а також як чотири «долоні» та шістнадцять «пальців»^{[2][4][7][8][9][6]}.

Зйомки та вимірювання під час подорожі проводилися за допомогою стрижнів, жердин і зв'язаних мотузок. Сцена в гробниці Менни^[en] у Фівах показує, як геодезисти вимірюють ділянку землі за допомогою мотузки з вузлами, зав'язаними через рівні інтервали. Подібні сцени можна знайти в гробницях Аменхотепа-Сесі, Хаемхата та Джесеркаресенеба. Кулі мотузки також зображені на статуях чиновників Нового Царства, таких як Сененмут, Аменемхет-Сурер і Пенанхор^[3].

Площі

Об'єкт	Джерело	Формула (в сучасних нотаціях)
трикутник	Задача 51 у МПР та задачі 4, 7 та 17 у ММП	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$ b — основа, h — висота
прямокутники	Задача 49 у МПР, задача 6 у ММП та задача 1 у папірусі Лахуна LV.4	${\displaystyle A=bh}$ b — основа, h — висота
коло	Задача 51 у МПР та задачі 4, 7 та 17 у ММП	${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\left({\frac {256}{81}}\right)d^{2}}$ d — діаметр. Тут використовується значення 256/81 = 3,16049… для ${\displaystyle \pi =3,14159...}$
півкуля	Задача 10 в ММП

Трикутники:

Стародавні єгиптяни знали, що площа трикутника дорівнює ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$, де b = основа і h = висота. Обчислення площі трикутника з'являються як у МПР, так і в ММП^[10].

Прямокутники:

В задачі 49 з МПР потрібно знайти площу прямокутної ділянки землі^[10]. В задачі 6 з ММП потрібно знайти довжини сторін прямокутної ділянки за відношенням довжин сторін. Ця задача здається ідентичною задачі із математичних папірусів Лахуна^[en] в Лондоні. Задача також демонструє, що єгиптяни були обізнані з квадратним коренем. У них навіть був спеціальний ієрогліф для знаходження квадратного кореня. Він має вигляд кута і з'являється в п'ятому рядку задачі. Вчені підозрюють, що єгиптяни мали таблиці квадратного кореня деяких загальновживаних чисел. Однак таких таблиць не було знайдено^[11]. Задача 18 з ММП обчислює площу шматка тканини для шиття одягу^[10].

Задача 1 папірусу Лахуна в LV.4 подається так: Площа розміром 40 царських ліктів на 3 царських ліктів повинна бути поділена на 10 частин, кожна з яких повинна мати ширину 1/2 1/4 їхньої довжини^[12]. Переклад задачі та її розв'язання у вигляді фрагмента наведено на веб-сайті, який підтримується Університетським коледжем Лондона^[13].

Кола:

У задачі 48 з МПР порівнюється площа кола (апроксимованого восьмикутником) і описаного навколо нього квадрата. Результат цієї задачі використано у задачі 50.

Розріжте кожну сторону на три рівні частини. Видаліть кутові трикутники. Отримана восьмикутна фігура апроксимує коло. Площа восьмикутника дорівнює:

${\displaystyle 9^{2}-4{\frac {1}{2}}(3)(3)=63}$ Далі ми замінюємо 63 приблизним значенням 64 і зауважуємо, що ${\displaystyle 64=8^{2}}$

Таким чином число ${\displaystyle 4\left({\frac {8}{9}}\right)^{2}=3.16049...}$ виконує роль π = 3,14159….

Те, що ця восьмикутна фігура, площу якої легко обчислити, досить точно дорівнює площі кола, є просто збігом. Отримати краще наближення до площі за допомогою дрібніших ділень квадрата та подібних міркувань непросто^[10].

В задачі 50 з МПР потрібно знайти площу круглого поля діаметром 9 шнурів^[10]. Ця задача вирішується за допомогою наближення, яке апроксімує площу кола діаметром 9 з площею квадрата зі стороною 8. В задачі 52 потрібно знайти площу трапеції з (очевидно) однаково похилими сторонами. Довжини паралельних сторін і відстань між ними — задані числа.

Півкуля:

Задача 10 ММП обчислює площу півкулі.

Кілька задач обчислюють об'єм циліндричних зерносховищ (41, 42 і 43 з МПР), тоді як в задачі 60 з МПР, ймовірно, мова іде про стовп або конус замість піраміди. Це досить маленький і крутий об'єкт, із секедом^[en] (нахилом) у чотири «долоні» (на «лікоть»)^[10].

Задача, яка описана в розділі IV.3 математичних папірусів Лахуна^[en], обчислює об'єм зерносховища з круглою основою. Подібну задачу та процедуру можна знайти в папірусі Райнда (задача 43). Кілька задач у московському математичному папірусі (задача 14) і в математичному папірусі Райнда (задачі 44, 45, 46) обчислюють об'єм прямокутного зерносховища^[10][11].

Задача 14 з московського математичного папірусу обчислює об'єм усіченої піраміди.

Об'єми

Об'єкт	Джерело	Формула (в сучасних нотаціях)
Циліндричні зерносховища	МПР 41	${\displaystyle V={\frac {256}{81}}r^{2}\ h}$ вимірюється в кубічних ліктях
Циліндричні зерносховища	МПР 42, папірус Лахуна IV.3	${\displaystyle V={\frac {32}{27}}d^{2}\ h={\frac {128}{27}}r^{2}\ h}$ (вимірюється в мішках).
Прямокутні зерносховища	МПР 44-46 і ММП 14	${\displaystyle V=w\ l\ h}$ w = ширина, l = довжина, h = висота
Усічена піраміда	ММП 14	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})h}$

Задача 56 з МПР вказує на розуміння єгиптянами ідеї геометричної подібності. У цій задачі обговорюється співвідношення довжини/висоти, також відоме як секед^[en]. Така формула була б необхідна для побудови пірамід. У наступній задачі (57) висота піраміди обчислюється за довжиною основи та секедом (нахил в Стародавньому Єгипті), тоді як у задачі 58 задано довжину основи та висоту, і ці величини використовуються для обчислення секеда.

В першій частині задачі 59 обчислюється секед, тоді як друга частина може бути обчисленням для перевірки відповіді: Якщо ви будуєте піраміду зі стороною основи 12 [ліктів] і з секедом, що складається з 5 долонь і 1 пальця; яка буде його висота?^[10]

• Clagett, Marshall (1999). Ancient Egyptian Science: A Source Book, Vol. III: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the APS, Vol. 232 (англ.). Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 978-0-87169-232-0.
• Lepsius, Karl Richard (1865). Die Alt-Aegyptische Elle und Ihre Eintheilung (нім.). Berlin: Dümmler.