Інтегрорізницеве рівняння

Інтегрорізницеве рівняння — рекурентне співвідношення у просторі функцій, яке має такий вигляд:

${\displaystyle n_{t+1}(x)=\int _{\Omega }k(x,y)\,f(n_{t}(y))\,dy,}$

де ${\displaystyle \{n_{t}\}\,}$ — певна послідовність у функціональному просторі ${\displaystyle \Omega \,}$ — область значень цих функцій. У більшості видів застосувань для будь-яких ${\displaystyle y\in \Omega \,}$, ${\displaystyle k(x,y)\,}$ — це функція густини ймовірності на ${\displaystyle \Omega \,}$. Важливо зазначити, що у цьому визначенні ${\displaystyle n_{t}}$ може бути вектором, в цьому випадку кожен його елемент ${\displaystyle \{n_{t}\}}$ є скалярною величиною.

Інтегродиференційні рівняння широко застосовуються в математичній біології, особливо в теоретичній екології для моделювання розповсюдження (дисперсії) організмів і росту чисельності популяцій. В цьому випадку, ${\displaystyle n_{t}(x)}$ — це чисельність або густина особин в популяції в ділянці простору ${\displaystyle x}$ в час ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle f(n_{t}(x))}$ описує локальний ріст чисельності (густини популяції) в точці простору ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle k(x,y)}$, — це ймовірність переходу з точки ${\displaystyle y}$ до точки ${\displaystyle x}$. Ця величина ще називається зерном розповсюдження (англ. dispersal kernel). Інтегрорізницеві рівняння дуже часто використовуються для опису популяцій з одним поколінням за рік (наприклад, такими є популяції багатьох членистоногих, однорічних рослин). Однак, популяції з багатьма поколіннями за рік можуть також моделюватись з допомогою інтегрорізницевих рівнянь ^[1], але за умови якщо покоління цього організму не перекриваються. В цьому випадку час ${\displaystyle t}$ виражається не в роках, а в періодах між поколінями.

Інші види рівнянь, які використовуються для моделювання динаміки чисельності популяцій в просторі включають реакційно-дифузійні рівняння і метапопуляційні рівняння. Однак для дифузійних рівнянь складно включити чітко патерни розповсюдження, тому ці рівняння біологічно релевантні тільки для моделювання популяцій з поколіннями, що перекриваються. ^[2]. Метапопуляційні рівняння відрізняються від інтегрорізницевих рівнянь, тому що вони розглядають простір ареалу пуляції дискретно, а не неперервно як в інтегрорізницевих рівняннях.