Абсолютно неперервна випадкова величина

Означення

Випадкова величина ξ називається абсолютно неперервною, якщо її функція розподілу допускає представлення $F_{\xi }(x)=\int \limits _{X}p_{\xi }(x)dx$ , де $p_{\xi }(x)\,$ — невід'ємна інтегровна за Лебегом функція. Функція $p_{\xi }(x)\,$ називається функцією густини імовірності випадкової величини ξ.

Способи задання

Нехай ξ — абсолютно неперервна випадкова величина, тоді є два способа її задання:

за допомогою функції густини імовірності $p_{\xi }(x)\,$ ;
за допомогою функції розподілу ймовірностей $F_{\xi }(x)\,$ .

Приклад задачі, що призводить до даного поняття

Розглянемо стохастичний експеримент, який полягає в тому, що ми обираємо випадковим чином число з інтервалу [0, 1]. Сенс фрази «випадковим чином» полягає у рівноймовірності обрання нами чисел з довільних двох однакових неперерізних інтервалів, які є підмножинами [0, 1] (наприклад, ймовірність того, що наш вибір буде числом, меншим ніж 0,5 дорівнює 0,5 і т. д.). Розглянемо відповідну випадкову величину ξ, реалізація якої є результатом цього стохастичного експерименту. Тоді ймовірність того, що ця випадкова величина набуде значення менше нуля дорівнює 0, а ймовірність того, що ця випадкова величина набуде значення, що перевищує одиницю дорівнює 1. А на інтервалі [0, 1] функція розподілу, очевидно, зростатиме лінійно. Отже, отримаємо такі результати:

функція розподілу $F_{\xi }(x)={\begin{cases}0,&x<0\\x,&x\in [0,1)\\1,&x\geq 1\end{cases}}$
функція щільності $p_{\xi }(x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x\in [0,1)\\0,&x\geq 1\end{cases}}$