Арифметична функція

Арифметична (аритметична^[1]) функція — функція, визначена на множині натуральних чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$, що набуває значень у множині комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Як випливає з визначення, арифметичною функцією називається будь-яка функція

${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} }$

Назва арифметична функція пов'язана з тим, що в теорії чисел відомо багато функцій ${\displaystyle ~f(n)}$ натурального аргументу ${\displaystyle ~n}$, які виражають ті або інші арифметичні властивості ${\displaystyle ~n}$. Тому, неформально кажучи, під арифметичною функцією розуміють функцію ${\displaystyle ~f(n)}$, яка «виражає деяку арифметичну властивість» натурального числа ${\displaystyle ~n}$ (див. приклади арифметичних функцій нижче).

Багато арифметичних функцій, що розглядаються в теорії чисел, насправді приймають цілочислові значення.

• Сумою арифметичної функції ${\displaystyle f}$ називають функцію ${\displaystyle F:[0,+\infty )\to \mathbb {C} }$, визначену як

${\displaystyle F(x)=\sum _{n\leq x}f(n).}$

Ця операція є «дискретним аналогом» невизначеного інтеграла; при цьому, хоча початкова функція і була визначена тільки на ${\displaystyle \mathbb {N} }$, її суму виявляється зручним вважати визначеною на всій додатній півосі (при цьому вона, природно, кусково-стала).

• Згорткою Діріхле двох арифметичних функцій f і g називається арифметична функція h, визначена за правилом

${\displaystyle \ h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).}$

• Арифметичній функції f можна зіставити її генератрису—ряд Діріхле

${\displaystyle \ \Phi _{f}(s)=\sum _{n}f(n)n^{-s}.}$

При цьому згортці Діріхле двох арифметичних функцій відповідає добуток їх генератрис.

• Поточкове множення на логарифм

${\displaystyle f\mapsto f',\quad f'(n)=f(n)\cdot \ln n,}$

є диференціюванням алгебри арифметичних функцій: відносно згортки воно задовольняє правилу Лейбніца

${\displaystyle \ (f*g)'=f'*g+f*g'.}$

Перехід до генератриси, перетворює цю операцію на звичайне диференціювання.

Арифметична функція ${\displaystyle ~\tau \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ визначається як число додатнних дільників натурального числа ${\displaystyle ~n}$:

${\displaystyle ~\tau (n)=\sum _{d|n}1}$

Якщо ${\displaystyle ~m}$ і ${\displaystyle ~n}$ взаємно прості, то кожен дільник добутку ${\displaystyle ~mn}$ може бути єдиним чином поданий у вигляді добутку дільників ${\displaystyle ~m}$ і ${\displaystyle ~n}$, і навпаки, кожне такий добуток є дільником ${\displaystyle ~mn}$. Звідси випливає, що функція ${\displaystyle ~\tau }$ мультиплікативна:

${\displaystyle ~\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)}$

Якщо ${\displaystyle ~n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i}}}$ — розклад на прості множники натурального числа ${\displaystyle ~n}$, то зважаючи на мультиплікативність

${\displaystyle ~\tau (n)=\tau (p_{1}^{s_{1}})\tau (p_{2}^{s_{2}})\ldots \tau (p_{r}^{s_{r}})}$

Але додатними дільниками числа ${\displaystyle p_{i}^{s_{i}}}$ є ${\displaystyle ~s_{i}+1}$ чисел ${\displaystyle 1,p_{i},\ldots ,p_{i}^{s_{i}}}$.

Відповідно

${\displaystyle ~\tau (n)=(s_{1}+1)(s_{2}+1)\ldots (s_{r}+1)}$

Функція ${\displaystyle \sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ визначається як сума дільників натурального числа ${\displaystyle ~n}$:

${\displaystyle ~\sigma (n)=\sum _{d|n}d}$

Узагальнюючи функції ${\displaystyle ~\tau (n)}$ і ${\displaystyle ~\sigma (n)}$ для довільного, взагалі кажучи комплексного ${\displaystyle ~k}$ можна визначити ${\displaystyle ~\sigma _{k}(n)}$ — суму ${\displaystyle k}$-их степенів додатних дільників натурального числа ${\displaystyle ~n}$:

${\displaystyle ~\sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k}}$

Використовуючи нотацію Айверсона можна записати

${\displaystyle ~\sigma _{k}(n)=\sum _{d}d^{k}[\,d|n\,]}$

Функція ${\displaystyle ~\sigma _{k}}$ мультиплікативна:

${\displaystyle m\perp n\Rightarrow ~\sigma _{k}(mn)=\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)}$

Якщо ${\displaystyle ~n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i}}}$ — розклад на прості дільники натурального числа ${\displaystyle ~n}$, то

${\displaystyle ~\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(s_{i}+1)k}-1}{p_{i}-1}}}$

Функція Ейлера ${\displaystyle \varphi (n)}$, визначається як кількість додатних цілих чисел, що не є більшими за ${\displaystyle ~n}$, і є взаємно простими з ${\displaystyle ~n}$.

Користуючись нотацією Айверсона можна записати:

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{1\leq k\leq n}[k\perp n]}$

Функція Ейлера мультиплікативна:

${\displaystyle m\perp n\Rightarrow ~\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}$

У явному вигляді значення функції Ейлера виражається формулою:

${\displaystyle \varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\dots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)}$

де ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}}$ — різні прості дільники ${\displaystyle ~n}$.

Функцію Мебіуса ${\displaystyle ~\mu (n)}$ можна визначити як арифметичну функцію, що задовольняє наступній властивості:

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1\end{cases}}}$

Тобто сума значень функції Мебіуса по всіх дільниках цілого додатного числа ${\displaystyle ~n}$ рівна нулю, якщо ${\displaystyle ~n>1}$, і рівна ${\displaystyle ~1}$, якщо ${\displaystyle ~n=1}$.

Можна показати, що цьому рівнянню задовольняє лише одна функція, і її можна явно задати наступною формулою:

${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r},&n=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}\\0,&p^{2}|n\\1,&n=1\end{cases}}}$

Тут ${\displaystyle p_{i}}$ — різні прості числа ${\displaystyle p}$ — просте число. Інакше кажучи, функція Мебіуса ${\displaystyle \mu (n)}$ рівна ${\displaystyle 0}$, якщо ${\displaystyle n}$ не вільно від квадратів (тобто ділиться на квадрат простого числа), і рівна ${\displaystyle ~\pm 1}$ інакше (плюс або мінус вибирається залежно від парності числа простих дільників ${\displaystyle ~n}$).

Функція Мебіуса є мультиплікативною функцією.

• Алгебраїчна функція
• Аналітичні функції
• Раціональні функції
• Трансцендентні функції
• Функція суми квадратів

• Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ., — М.: «Мир», 1975;
• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)