Багатомасштабні підходи

Масштабопросторове подання сигналу, отримуване гауссовим згладжуванням, задовольняє низку особливих властивостей, масштабопросторових аксіом, які перетворюють його на особливу форму багатомасштабного подання. Проте у сферах комп'ютерного бачення, обробки зображень та обробки сигналів існують й інші типи «багатомасшта́бних підхо́дів» (англ. "multi-scale approaches"), зокрема, поняття вейвлетів. Мета цієї статті — описати кілька з цих підходів:

Для одновимірних сигналів існує досить добре розвинена теорія для безперервних та дискретних ядер, які гарантують неможливість створення операцією згортки нових локальних екстремумів чи перетинів нуля.^[1] Для безперервних сигналів всі масштабопросторові ядра може бути розкладено на наступні набори примітивних згладжувальних ядер:

• гауссове ядро: ${\displaystyle g(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}\exp({-x^{2}/2t})}$, де ${\displaystyle t>0}$,
• зрізані експоненційні ядра (фільтри з одним дійснозначним полюсом в s-площині):

${\displaystyle h(x)=\exp({-ax})}$, якщо ${\displaystyle x\geq 0}$, та 0 інакше, де ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle h(x)=\exp({bx})}$, якщо ${\displaystyle x\leq 0}$, та 0 інакше, де ${\displaystyle b>0}$,

• паралельні перенесення,
• масштабування.

Для дискретних сигналів ми можемо, з точністю до примітивних паралельних перенесень та масштабувань, розкласти будь-яке дискретне масштабопросторове ядро на такі примітивні операції:

• дискретне гауссове ядро

${\displaystyle T(n,t)=I_{n}(\alpha t)}$, де ${\displaystyle \alpha ,t>0}$, де ${\displaystyle I_{n}}$ — видозмінені функції Бесселя цілого порядку,

• узагальнені двочленні ядра, що відповідають лінійному згладжуванню, вигляду

${\displaystyle f_{out}(x)=pf_{in}(x)+qf_{in}(x-1)}$, де ${\displaystyle p,q>0}$

${\displaystyle f_{out}(x)=pf_{in}(x)+qf_{in}(x+1)}$, де ${\displaystyle p,q>0}$ ,

• рекурсивні фільтри першого порядку, що відповідають лінійному згладжуванню, вигляду

${\displaystyle f_{out}(x)=f_{in}(x)+\alpha f_{out}(x-1)}$, де ${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle f_{out}(x)=f_{in}(x)+\beta f_{out}(x+1)}$, де ${\displaystyle \beta >0}$ ,

• однобічне пуассонове ядро

${\displaystyle p(n,t)=e^{-t}{\frac {t^{n}}{n!}}}$ для ${\displaystyle n\geq 0}$, де ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle p(n,t)=e^{-t}{\frac {t^{-n}}{(-n)!}}}$ для ${\displaystyle n\leq 0}$, де ${\displaystyle t\geq 0}$ .

З цієї класифікації видно, що нам потрібна безперервна напівгрупова структура, існує лише три класи масштабопросторових ядер з безперервним параметром масштабу: гауссове ядро, яке формує простір масштабів безперервних сигналів, дискретне гауссове ядро, яке формує простір масштабів дискретних сигналів, та часово-причинне пуассонове ядро, яке формує часовий простір масштабів над дискретним часом. Якщо ми, з іншого боку, пожертвуємо безперервною напівгруповою структурою, то варіантів стає більше:

Для дискретних сигналів використання узагальнених двочленних ядер забезпечує формальну основу для визначення операції згладжування в піраміді. Для часових даних однобічні зрізані експоненційні ядра та рекурсивні фільтри першого порядку забезпечують спосіб визначення часово-причинних просторів масштабів,^[2][3] які уможливлюють ефективне чисельне втілення та враховують причинність над часом без доступу до майбутнього. Рекурсивні фільтри першого порядку також забезпечують систему для визначення рекурсивних наближень гауссового ядра, які в слабшому сенсі зберігають деякі масштабопросторові властивості.^[4][5]

• Простір масштабів
• Втілення простору масштабів
• Масштабопросторове сегментування