Варіація повороту кривої

Варіація повороту кривої — інтеграл кривини кривої за її довжиною.

Варіація повороту кривої ${\displaystyle \gamma }$ на площині або в просторі визначається як точна верхня межа суми зовнішніх кутів вписаної в ${\displaystyle \gamma }$ ламаної.

У разі якщо крива ${\displaystyle \gamma }$ замкнута, вписана ламана також передбачається замкнутою.

Якщо ${\displaystyle \gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d}}$ гладка крива, параметрезована довжиною, ${\displaystyle \kappa (s)}$ — її кривина, то варіація повороту дорівнює інтегралу модуля кривизни:

• ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|\kappa (s)|\cdot ds.}$

Варіацію повороту гладкої регулярної кривої ${\displaystyle \gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d}}$} можна також визначити як довжину її дотичної індикатриси; тобто кривої ${\displaystyle \tau (s)\colon [a;\,b]\to \mathbb {S} ^{d-1}}$ утвореної одиничними дотичними векторами.

• Kuhnel, Wolfgang (2005), Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3988-1 (translated by Bruce Hunt)
• Sullivan, John M. (2008), Curves of finite total curvature, Discrete differential geometry, Oberwolfach Semin., т. 38, Birkhäuser, Basel, с. 137—161, arXiv:math/0606007, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_7, MR 2405664