Впорядкована множина

Впорядко́вана множина́ — множина для будь-яких двох елементів ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ якої встановлено одне з наступних відношень порядку:

або ${\displaystyle a\leq b}$ (${\displaystyle a}$ не перевищує ${\displaystyle b}$),

або ${\displaystyle b\leq a}$ (${\displaystyle b}$ не перевищує ${\displaystyle a}$),

з наступними властивостями:

1. рефлексивність: будь-який елемент множини не перевершує самого себе;
2. антисиметричність: якщо ${\displaystyle a}$ не перевершує ${\displaystyle b}$, а ${\displaystyle b}$ не перевершує ${\displaystyle a}$, то елементи ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ збігаються;
3. транзитивність: якщо ${\displaystyle a}$ не перевершує ${\displaystyle b}$, а ${\displaystyle b}$ не перевершує ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ не перевершує ${\displaystyle c}$.

Порожню множину домовилися вважати впорядкованою. У сформульованому вище визначенні впорядкованої множини, елементами якої можуть бути об'єкти будь-якої природи, знак ${\displaystyle \leq }$ читається «не перевершує». Звичне читання і сенс цей знак (як знак «менше або дорівнює») набуває в разі, коли елементи множини — числа.

Дві множини, складені з одних і тих же елементів, але з різними відношеннями порядку, вважаються різними впорядкованими множинами.

Одну і ту ж множину можна впорядкувати різними способами, одержуючи тим самим різні впорядковані множини. Наприклад, розглянемо множину, елементами якої є різні опуклі багатокутники: трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник і т. д. Один спосіб утворення впорядкованої множини з даної невпорядкованої множини може, наприклад, полягати в тому, що як перший елемент впорядкованої множини ми беремо трикутник, як другий — чотирикутник, третій — п'ятикутник і т. д., тобто впорядковуємо множину в порядку зростання числа внутрішніх кутів багатокутників. Множина багатокутників може бути впорядкована й іншим способом, наприклад перерахуванням багатокутників у порядку зростання площ, коли першим вибирається багатокутник, що має найменшу площу, а другим — багатокутник з площею, що не перевищує площу усіх інших, окрім вже вибраного, і т. д.

Впорядковані (скінченні або такі, елементи яких можна перерахувати) множини часто записують, розташовуючи їхні елементи в заданому порядку в круглих дужках. Наприклад, записи

задають різні скінченні впорядковані множини, які можна отримати з однієї і тієї ж множини {1; 2; 3}, впорядковуючи її двома різними способами. Для запису скінченної впорядкованої множини у вигляді, аналогічному (1), необхідно вказати перший елемент впорядкованої множини і вказати порядок (правило) розташування наступних елементів.

• Відношення порядку
• Частково впорядкована множина
• Лінійно впорядкована множина
• Цілком впорядкована множина
• Порядкові числа

• Справочник по математике для средних учебных заведений. Цыпкин А. Г./Под ред. С. А. Степанова. — 3-е изд. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 480 с. (рос.)