Вторинне квантування ферміонів

Вторинне квантування ферміонів  — математичний метод опису системи частинок, що складається із ферміонів. В представленні чисел заповнення автоматично враховується властивість тотожності частинок та необхідна симетрія хвильової функції відносно перестановок частинок.

Як відомо, для системи ферміонів справедливий принцип Паулі, згідно з яким у кожному одночастинковому стані не може перебувати більш ніж один ферміон. Дослідження системи однакових ферміонів можна почати з найпростішого випадку системи, яка містить ${\displaystyle N}$ ферміонів малої енергії, що не взаємодіють між собою.

Припустимо, що стан руху окремого ферміона в деякому зовнішньому полі, яке породжується іншими частинками, (наприклад, атомними ядрами в атомах чи молекулах), визначається оператором Гамільтона ${\displaystyle H(\xi )\ }$, де ${\displaystyle \xi \ }$- сукупність просторовох та спінових змінних. Нехай ${\displaystyle \epsilon _{s}\ }$ та ${\displaystyle \phi _{s}(\xi )-\ }$ відповідно власні значення та власні функції оператора ${\displaystyle H(\xi )\ }$. Індекс ${\displaystyle s\ }$ характеризує всі квантові числа, які визначають одночастинкові стани. Повний гамільтоніан в координатному представленні буде:

${\displaystyle H(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})=\sum _{i=1}^{N}H(\xi _{i})}$.

Хвильова функція в тому ж представленні є антисиметричною функцією ${\displaystyle \psi (\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})}$, яка залежить від ${\displaystyle 4N}$ змінних, ${\displaystyle \xi _{i}\ }$- сукупність просторових та спінових змінних ${\displaystyle i-}$ ї частинки.

В представленні чисел заповнення стан системи визначається вказуванням числа частинок у кожному одночастинковому стані. Нехай оператор числа частинок в стані ${\displaystyle {\hat {n}}_{s}=\alpha _{s}^{+}\alpha _{s}\ }$ має вигляд:

${\displaystyle {\hat {n}}_{s}=\alpha _{s}^{+}\alpha _{s}\ }$.

Для того, щоб цей оператор описував стани системи ферміонів, він повинен згідно з принципом Паулі мати тільки два власні значення: 0 та 1. Тому в представленні чисел заповнення ермітовий оператор ${\displaystyle {\hat {n}}_{s}\ }$ зображається діагональною матрицею

${\displaystyle {\hat {n}}_{s}=\alpha _{s}^{+}\alpha _{s}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\ }$.

Необхідно відзначити, що оператор числа частинок в системі бозонів визначався нескінченною матрицею, а дві власні функції оператора числа частинок, які належать відповідно до власних значень 0 та 1, мають вигляд:

${\displaystyle |0>={1 \choose 0}}$

${\displaystyle |1>={0 \choose 1}}$

Можна припустити, що оператор ${\displaystyle \alpha _{s}\ }$ є оператором зменшення числа частинок в стані ${\displaystyle s\ }$ на одиницю, тоді як за визначенням:

${\displaystyle \alpha _{s}|0>=0\ }$

${\displaystyle \alpha _{s}|1>=|0>\ }$.

Таким чином, в представленні з діагональним оператором ${\displaystyle {\hat {n}}_{s}\ }$ оператор ${\displaystyle \alpha _{s}\ }$ визначається неермітовою матрицею:

${\displaystyle \alpha _{s}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\ }$,

а ермітово спряжений оператор до ${\displaystyle \alpha _{s}\ }$:

${\displaystyle \alpha _{s}^{+}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\ }$

має таку властивість, що:

${\displaystyle \alpha _{s}^{+}|0>=|1>\ }$

${\displaystyle \alpha _{s}^{+}|1>=0\ }$,

з чого випливає, що оператор ${\displaystyle \alpha _{s}^{+}\ }$ збільшує на одиницю число частинок в стані ${\displaystyle \alpha _{s}\ }$, якщо в цьому стані не було частинок, і перетворює в нуль функцію, яка відповідає стану ${\displaystyle s\ }$ з одною частинкою. Із цих визначень випливають перестановочні співвідношення для введених операторів, які ми будемо називати «фермі-операторами»:

${\displaystyle \left\{\alpha _{s},\alpha _{s}\right\}=\left\{\alpha _{s}^{+},\alpha _{s}^{+}\right\}=0,\left\{\alpha _{s},\alpha _{s}^{+}\right\}=1,\ }$

де фігурні дужки використовуються для позначення антикомутатора двох операторів:

${\displaystyle \left\{\alpha ,\beta \right\}=\alpha \beta +\beta \alpha .\ }$

Порядок розташування операторів в антикомутаторі не має значення, ${\displaystyle \left\{\alpha ,\beta \right\}=\left\{\beta ,\alpha \right\}\ }$, тому дія операторів ${\displaystyle \alpha _{s}\ }$ та ${\displaystyle \alpha _{s}^{+}\ }$ може бути оберненою.

Оператори ${\displaystyle \alpha _{s}^{+}\ }$ та ${\displaystyle \alpha _{s}\ }$ визначаються приведеними вище матрицями не повністю. Необхідно ще вказати зв'язок цих операторів з операторами ${\displaystyle \alpha _{s1}^{+}\ }$ та ${\displaystyle \alpha _{s1}\ }$ для інших станів. Можна вважати, за аналогією з випадком Бозе-частинок, що співвідношення типу ${\displaystyle {\alpha _{s},\alpha _{l}}=0\ }$ виконуються для всіх операторів, крім операторів ${\displaystyle \alpha _{s}^{+}\ }$ та ${\displaystyle \alpha _{s}\ }$ (для кожного стану ${\displaystyle s\ }$), для якого ${\displaystyle {\alpha _{s},\alpha _{s}^{+}}=1\ }$. Іншими словами, необхідно вимагати, щоб оператори ${\displaystyle \alpha _{s1},\alpha _{s2},...\ }$ задовольняли умови:

${\displaystyle \left\{\alpha _{s},\alpha _{l}\right\}=\left\{\alpha _{s}^{+},\alpha _{l}^{+}\right\}=0,\left\{\alpha _{s},\alpha _{l}^{+}\right\}=\delta _{sl},\ }$

де

${\displaystyle \delta _{sl}={\begin{cases},0&s\neq l\\1,&s=l\end{cases}}}$-

символ Кронекера. Подібні співвідношення приводять до правильного опису систем ферміонів.

Вперше операторний метод розгляду квантових систем з великою кількістю однакових частинок був запропонований Діраком в 1927 році.

Широку популярність даний метод отримав після того, як Боголюбов в 1958 році використав його для презентації формальної моделі Бардіна-Купера-Шріффера для опису процесів надпровідності.

В 1989 році Якимаха використав цей метод для опису квантових явищ в МДН-транзисторах, які працюють в режимах сильної та надсильної інверсії.

Слід відзначити, що повний метод використання формалізму Дірака в квантовій механіці здійснив Вільям Луїзелл в 1973 році (за допомогою використання віртуальних LC — контурів). В рамках даного методу опису квантових явищ можна зрозуміти всі процеси, що протікають в мікроскопічних об'єктах природи. Слід також відзначити, що це перша книга з квантової механіки, написана в Міжнародній системі величин (ISQ) .

Операторний формалізм Дірака-...- Луїзелла претендує на альтернативний опис "Квантової електродинаміки" (кому подобається - "Квантової теорії поля", з елементарними частками включно). На сьогодні він широко використовується в квантовому комп'ютінгу (завдяки Деворету).

• Вторинне квантування

• Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.
• Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. — М. : Мир, 1978. — Т. 1. — 408 с.
• Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — М. : Наука, 1986. — 320 с.
• Ван Хьеу Н. Основы метода вторичного квантования. — М. : Энергоатомиздат, 1984. — 208 с.
• Кузьмичёв В. Е. Законы и формулы физики. — К. : Наукова думка, 1989. — 864 с.
• Боголюбов Н.Н., Толмачев Д.В. и Ширков Д.В. Новый метод в теории сверхпроводимости. — М. : Изд. АН СССР, 1958.
• Румер Ю.Б.,Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. — М. : Изд. Наука, 1977. — 552 с.
• Якимаха А.Л. Высокотемпературные квантовые гальваномагнитные эффекты в двумерных инверсионных слоях МДП- транзисторов. — К. : Вища школа, 1989. — 91 с.
• Louisell W.H. Quantum Statistical Properties of Radiation. — New York : Wiley, 1973. — 528 с.
• Петрина Д.Я. Квантовая теория поля. — К. : Вища школа, 1984. — 248 с.
• Mishel H. Devoret. Quantum fluctuation in Electrical Circuits. Course 10. — Amsterdam. : Elsevier Science, 1997. — 351-386 с.