Вітряк (теорія графів)

У теорії графів «вітряк» Wd(k,n) — це неорієнтований граф, побудований для k ≥ 2 і n ≥ 2 об'єднанням n копій повних графів K_k в одній спільній вершині. Тобто це сума за 1-клікою цих повних графів^[1].

Граф має (k−1)n+1 вершин і nk(k−1)/2 ребер, обхват 3 (при k > 2), радіус 1 і діаметр 2. Граф має вершинну зв'язність 1, оскільки його центральна вершина є точкою зчленування. Однак, подібно до повних графів, з яких він утворений, він є реберно (k-1)-зв'язним. Граф є тривіально досконалим графом і блоковим графом.

За побудовою вітряк Wd (3,n) є графом товаришування F_n, вітряк Wd(2,n) є зіркою S_n, а вітряк Wd(3,2) є «метеликом».

Граф «вітряк» має хроматичне число k і хроматичний індекс n(k-1). Його хроматичний многочлен можна отримати з хроматичного многочлена повного графа і він дорівнює ${\displaystyle \prod _{i=0}^{k-1}(x-i)^{n}.}$

Доведено, що граф «вітряк» Wd(k,n) не є граціозним, якщо k > 5^[2]. 1979 року Бермонд висловив гіпотезу, що Wd(4,n) є граціозним для всіх n ≥ 4^[3]. Відомо, що це так для n ≤ 22^[4]. Бермонд, Котціг і Тургеон довели, що Wd(k,n) не є граціозними при k = 4 і n = 2 або n = 3, і при k = 5 і n = 2^[5]. Вітряк Wd(3,n) граціозний тоді і тільки тоді, коли n ≡ 0 (mod 4) або n ≡ 1 (mod 4)^[6].

• J. A. Gallian. Dynamic Survey DS6: Graph Labeling // Electronic J. Combinatorics. — 2007. — Вип. DS6 (3 січня). Архівовано з джерела 31 січня 2012. Процитовано 29 липня 2021.
• K. M. Koh, D. G. Rogers, H. K. Teo, K. Y. Yap. Graceful graphs: some further results and problems // Congr. Numer.. — 1980. — Вип. 29 (26 травня).
• J.C. Bermond. Graph Theory and Combinatorics. — London : Pitman, 1979. — Т. 34. — (Research Notes in Mathematics)
• J. Huang, S. Skiena. Gracefully labeling prisms // Ars Combinatoria. — 1994. — Вип. 38 (26 травня).
• J. C. Bermond, A. Kotzig, J. Turgeon. Proc. 18 Hungarian Combinatorial Colloquium, Keszthely (1976) / A. Hajnal and V. T. Sos, eds. — North-Holland, Amsterdam, 1978. — (Colloquia mathematica Societatis János Bolyai)
• J.C. Bermond, A. E. Brouwer, A. Germa. Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes. — Paris : Editions du Centre Nationale de la Recherche Scientifique, 1978. — Т. 260. — (Colloq. Intern. du CNRS)